Então, galera, a gente tem aqui um problema de equação diferencial de segunda ordem. A equação é com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar envolve resolver equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas e têm a forma .
Passo 4
Vamos encontrar e :
Então, as raízes são:
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos :
Passo 7
Com , a solução simplifica para:
Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada de :