Encontre a solução de cada PVI

Passo 1

Então, galera, a gente tem aqui um problema de equação diferencial de segunda ordem. A equação é com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar envolve resolver equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar as raízes da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas e têm a forma .

Passo 4

Vamos encontrar e :
Então, as raízes são:

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos :

Passo 7

Com , a solução simplifica para:
Agora, vamos usar a segunda condição inicial . Primeiro, encontramos a derivada de :
Avaliando em :

Resposta

A solução do PVI é:

Exercícios relacionados

Encontrar a solução geral das seguintes equações de segunda ordem e determine se as soluções são fundamenntais.
.
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Determine o valor de de modo que as funções abaixo sejam contínuas.
(a)