Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (2,0) x y-2 yx^2+y^2-4 x+4

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar o limite da função . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos que levam ao ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da função:
  • Numerador: y(x - 2)(x - 2)^2 + y^2
  • Denominador: . Podemos reescrever isso como
Assim, a função simplifica para:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite quando se aproxima de , o que significa que se aproxima de . Vamos analisar diferentes caminhos de aproximação para verificar se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 4

Primeiro caminho: y = 0
Se 0 cdot (x - 2)(x - 2)^2 + 0 = 0 , a função fica:
Portanto, o limite é 0 nesse caso.

Passo 5

Segundo caminho: x = 2
Se y cdot 00 + y^2 = 0 , a função fica:
Novamente, o limite é 0.

Passo 6

Terceiro caminho: y = k(x - 2)
Vamos considerar uma linha qualquer onde k(x - 2)(x - 2)(x - 2)^2 + [k(x - 2)]^2 = k(x - 2)^2(x - 2)^2(1 + k^2) = k1 + k^2 , onde é uma constante.
Substituindo na função:
O limite depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é
  • Se , o limite é
Como o limite varia com , ele não é único.

Resposta

O limite não existe porque depende do caminho de aproximação.

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