Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar o limite da função
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e verificar se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de diferentes caminhos que levam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da função:
- Numerador:
- Denominador:
. Podemos reescrever isso como
Assim, a função simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite quando
se aproxima de
, o que significa que
se aproxima de
. Vamos analisar diferentes caminhos de aproximação para verificar se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 4
Primeiro caminho: y = 0
Se
, a função fica:
Portanto, o limite é 0 nesse caso.
Passo 5
Segundo caminho: x = 2
Se
, a função fica:
Novamente, o limite é 0.
Passo 6
Terceiro caminho: y = k(x - 2)
Vamos considerar uma linha qualquer onde
, onde
é uma constante.
Substituindo na função:
O limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é - Se
, o limite é
Como o limite varia com
, ele não é único.
Resposta
O limite não existe porque depende do caminho de aproximação.