Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa determinar o limite da função
quando o ponto se aproxima de . Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Nosso objetivo é ver o que acontece com quando se aproxima de . Se o limite for o mesmo independente do caminho que tomarmos para chegar em , então o limite existe. Caso contrário, não existe.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos diferentes para :
Caminho 1:
Substituindo por 0 na função:
Então, ao longo deste caminho, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo por 0 na função:
Novamente, o limite é 0.
Caminho 3: , onde é uma constante
Vamos substituir por :
Agora, quando , , então o limite também é 0.
Passo 4
Até agora, em todos os caminhos que testamos, o limite da função foi 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar uma estimativa de limite.
Observamos que:
Como , . Portanto, pelo teorema do confronto, o limite de também é 0.