Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa determinar o limite da função
lim (x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^4
quando o ponto se aproxima de . Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
f(x, y) = x y^3raizx^2+y^4
Nosso objetivo é ver o que acontece com quando se aproxima de . Se o limite for o mesmo independente do caminho que tomarmos para chegar em , então o limite existe. Caso contrário, não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para f(0, y) = 0 cdot y^3raiz0 + y^4 = 0 :
Caminho 1: f(x, 0) = x cdot 0^3raizx^2 + 0 = 0
Substituindo f(x, kraizx) = x (kraizx)^3raizx^2 + (kraizx)^4 = x cdot k^3 x^3/2raizx^2 + k^4x^2 = k^3 x^5/2raizx^2(1 + k^4) = k^3 x^5/2x raiz1 + k^4 = k^3 x^3/2raiz1 + k^4 por 0 na função:
Então, ao longo deste caminho, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo por 0 na função:
Novamente, o limite é 0.
Caminho 3: , onde é uma constante
Vamos substituir por :
Agora, quando , , então o limite também é 0.

Passo 4

Até agora, em todos os caminhos que testamos, o limite da função |f(x, y)| = | x y^3raizx^2 + y^4 | <= |x||y|^3raizx^2 = |y|^3 foi 0. Para ter certeza de que o limite realmente existe e é 0, podemos usar uma estimativa de limite.
Observamos que:
Como , . Portanto, pelo teorema do confronto, o limite de também é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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