Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) cos (x y^3raizx^2+y^4)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Este problema envolve conhecimentos de cálculo de limites em funções de duas variáveis e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento da expressão dentro do cosseno à medida que se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o limite de uma função de duas variáveis. O objetivo é verificar se, ao nos aproximarmos do ponto ((0,0)\ por diferentes caminhos, a função se aproxima do mesmo valor. Se conseguirmos mostrar que a expressão dentro do cosseno tende a um valor específico, podemos usar a continuidade da função cosseno para determinar o limite final.

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro do cosseno:
x y^3raizx^2+y^4
Queremos encontrar:
lim(x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^4
Para facilitar, observamos que é sempre positivo e pode ser comparado com as potências de e .

Passo 4

Vamos aplicar a desigualdade para limitar a expressão:
| x y^3raizx^2+y^4 | <= |x| cdot |y|^3raizx^2+y^4
Como |x| cdot |y|^3raizx^2+y^4 <= |y|^3 e |x| cdot |y|^3raizx^2+y^4 <= |x| cdot |y| e lim(x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^4 = 0 , podemos simplificar:
Quando , ambos e tendem a 0. Assim, pelo Teorema do Ensaio da Amarra (ou Teorema do Trapézio), concluímos que:

Passo 5

Agora que sabemos que o limite da expressão dentro do cosseno é 0, podemos usar a continuidade da função cosseno para encontrar o limite final:
lim(x, y) (0,0) cos(x y^3raizx^2+y^4) = cos( lim(x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^4 ) = cos(0) = 1

Resposta

O limite é igual a .

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