Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite, se existir, de
quando
se aproxima de
. Aqui vamos precisar usar alguns conceitos de limites em funções de duas variáveis e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que está dentro do logaritmo:
. Para encontrar o limite do logaritmo, precisamos primeiro encontrar o limite da fração
quando
tende a
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Assim,
. Substituindo na fração, temos:
Passo 4
Agora, observamos que
depende de
e
. À medida que
tende a 0, todo o termo
também tende a 0, independentemente do valor de
. Portanto:
Passo 5
Agora que sabemos que o limite da fração é 0, podemos substituir na expressão original do logaritmo: