Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) ln (3 x^2 yx^2+y^2+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrar o limite, se existir, de quando se aproxima de . Aqui vamos precisar usar alguns conceitos de limites em funções de duas variáveis e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que está dentro do logaritmo: . Para encontrar o limite do logaritmo, precisamos primeiro encontrar o limite da fração quando tende a .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde 3x^2 yx^2+y^2 = 3(r costheta)^2 cdot (r sintheta)r^2 = 3r^2 cos^2theta cdot r sinthetar^2 = 3r cos^2theta sintheta e . Assim, . Substituindo na fração, temos:

Passo 4

Agora, observamos que lim(x, y) (0,0) 3x^2 yx^2+y^2 = 0 depende de e . À medida que tende a 0, todo o termo também tende a 0, independentemente do valor de . Portanto:

Passo 5

Agora que sabemos que o limite da fração é 0, podemos substituir na expressão original do logaritmo:
lim(x, y) (0,0) ln(3x^2 yx^2+y^2 + 2) = ln(lim(x, y) (0,0) (3x^2 yx^2+y^2 + 2)) = ln(0 + 2) = ln(2)

Resposta

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