Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar usar algumas técnicas de limite e talvez coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Queremos saber o que essa fração se aproxima quando tanto x quanto y vão para zero.
Passo 3
Vamos tentar substituir direto x = 0 e y = 0 na função:
- No numerador:
- No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
. Isso significa que precisamos usar outra estratégia para encontrar o limite.
Passo 4
Uma boa técnica para limites com duas variáveis é trocar para coordenadas polares. Nos polares, a gente define:
-
-
Ondeé a distância até a origem e é o ângulo. Quando , (x, y) se aproxima de (0,0).
Passo 5
Vamos reescrever a função usando essas substituições:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão. No numerador, podemos fatorar
:
No denominador, fatoramos
:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Agora, observamos que quando
, o termo
no numerador vai a zero, então podemos simplificar ainda mais:
Como
e o resto da fração está limitado (não explode), o produto todo tende a zero.
Resposta
O limite é 0.
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