Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) x^4-y^4 y^4x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar usar algumas técnicas de limite e talvez coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
lim (x, y) (0,0) x^4-y^8x^2+2 y^2
Queremos saber o que essa fração se aproxima quando tanto x quanto y vão para zero.

Passo 3

Vamos tentar substituir direto x = 0 e y = 0 na função:
  • No numerador:
  • No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada do tipo . Isso significa que precisamos usar outra estratégia para encontrar o limite.

Passo 4

Uma boa técnica para limites com duas variáveis é trocar para coordenadas polares. Nos polares, a gente define:

  • Onde é a distância até a origem e é o ângulo. Quando , (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 5

Vamos reescrever a função usando essas substituições:
(r cos(theta))^4 - (r sin(theta))^8(r cos(theta))^2 + 2 (r sin(theta))^2 = r^4 cos^4(theta) - r^8 sin^8(theta)r^2 cos^2(theta) + 2 r^2 sin^2(theta)

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão. No numerador, podemos fatorar r^4 cos^4(theta) - r^8 sin^8(theta) = r^4 (cos^4(theta) - r^4 sin^8(theta)) :
r^2 (cos^2(theta) + 2 sin^2(theta))
No denominador, fatoramos r^4 (cos^4(theta) - r^4 sin^8(theta))r^2 (cos^2(theta) + 2 sin^2(theta)) = r^2 cdot cos^4(theta) - r^4 sin^8(theta)cos^2(theta) + 2 sin^2(theta) :
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, observamos que quando r^2 cdot cos^4(theta)cos^2(theta) + 2 sin^2(theta) , o termo no numerador vai a zero, então podemos simplificar ainda mais:
Como e o resto da fração está limitado (não explode), o produto todo tende a zero.

Resposta

O limite é 0.

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