Esboce o gráfico de .

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de esboçar o gráfico da função . Estamos trabalhando com geometria analítica de funções de várias variáveis, especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de duas variáveis se comportam no espaço e como representar isso graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função . Aqui, a função depende de duas variáveis, e , mas somente do . Isso quer dizer que para qualquer valor de , o valor de só muda com .

Passo 3

Agora, vamos pensar em como desenhar isso no espaço 3D. Cada ponto no gráfico terá coordenadas , onde . Isso significa que, para cada valor de e , será o quadrado de .

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos analisar algumas seções da superfície:
  • Quando é constante: A função se torna , que é uma parábola no plano .
  • Quando é constante: A função se torna , ou seja, planos paralelos ao eixo no plano .

Passo 5

Isso nos mostra que a superfície é uma paraboloide que se estende indefinidamente ao longo do eixo . Em outras palavras, é como uma parábola que foi “puxada” ao longo do eixo , formando um tipo de cilindro parabólico.

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo , e em um sistema de coordenadas 3D.
  2. Trace a parábola no plano .
  3. Desenhe linhas paralelas ao eixo para cada ponto da parábola, formando a superfície da paraboloide.

Resposta

O gráfico de é uma paraboloide que se abre para cima e se estende indefinidamente ao longo do eixo , formando uma superfície curva semelhante a uma “peneira” vertical.

Exercícios relacionados

Determine se .
Faça os gráficos das seguintes funções modulares:
Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.