Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim (x, y) (1,1) x^2-y xx^2-y^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Precisamos encontrar o limite da função x^2 - yxx^2 - y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (1,1). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão. No numerador temos x^2 - yx, que pode ser fatorado colocando x em evidência:
x^2 - yx = x(x - y)
No denominador, temos x^2 - y^2, que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorada da seguinte maneira:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Passo 3

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
x^2 - yxx^2 - y^2 = x(x - y)(x - y)(x + y)
Observamos que o termo (x - y) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que x neq y:
x(x - y)(x - y)(x + y) = xx + y

Passo 4

Com a expressão simplificada, agora calculamos o limite quando (x, y) (1,1):
lim (x, y) (1,1) xx + y = 11 + 1 = 12

Resposta

O limite existe e é igual a 12.

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