Calcule a integral definida. 37. integral0^2|t i+t^2 j| d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que pede para calcular . Esse problema está ligado a cálculo vetorial, especificamente ao cálculo da magnitude de um vetor e à integração. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor e como integrar funções resultantes dessa norma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa | v | = raiza^2 + b^2 . Isso representa a magnitude (ou comprimento) do vetor . Para encontrar a magnitude de um vetor no formato , usamos a fórmula:

Passo 3

Aplicando a fórmula da magnitude ao nosso vetor |t i+t^2 j| = raizt^2 + (t^2)^2 = raizt^2 + t^4 , temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral0^2 raizt^2 + t^4 , dt
Para simplificar a integral, vamos fatorar raizt^2 + t^4 = raizt^2(1 + t^2) = t raiz1 + t^2 dentro da raiz:

Passo 5

Portanto, a integral fica:
integral0^2 t raiz1 + t^2 , dt
Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2 . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral:
integral t raiz1 + t^2 , dt = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du

Passo 7

Agora, integramos 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2 :

Passo 8

Voltando para a variável original 13 u^3/2 = 13 (1 + t^2)^3/2 :
13 (1 + t^2)^3/2 |0^2 = 13 [ (1 + 2^2)^3/2 - (1 + 0^2)^3/2 ] = 13 [ (5)^3/2 - 1 ]
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:

Passo 9

Calculando 5^3/2 = raiz5^3 = raiz125 = 5raiz5 :
13 (5raiz5 - 1)
Então, nossa expressão fica:

Resposta

A integral definida é igual a .

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