Beleza, vamos resolver essa integral definida que pede para calcular . Esse problema está ligado a cálculo vetorial, especificamente ao cálculo da magnitude de um vetor e à integração. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a norma de um vetor e como integrar funções resultantes dessa norma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa | v | = raiza^2 + b^2 . Isso representa a magnitude (ou comprimento) do vetor . Para encontrar a magnitude de um vetor no formato , usamos a fórmula:
Passo 3
Aplicando a fórmula da magnitude ao nosso vetor |t i+t^2 j| = raizt^2 + (t^2)^2 = raizt^2 + t^4 , temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral0^2 raizt^2 + t^4 , dt
Para simplificar a integral, vamos fatorar raizt^2 + t^4 = raizt^2(1 + t^2) = t raiz1 + t^2 dentro da raiz:
Passo 5
Portanto, a integral fica:
integral0^2 t raiz1 + t^2 , dt
Agora, precisamos resolver essa integral. Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2 . Então, a derivada de em relação a é:
Passo 6
Substituindo na integral:
integral t raiz1 + t^2 , dt = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Passo 7
Agora, integramos 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2 :
Passo 8
Voltando para a variável original 13 u^3/2 = 13 (1 + t^2)^3/2 :