Use o teste da integral e encontre os valores de
para os quais a série é convergente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
Queremos descobrir para quais valores de
essa série converge usando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar aplicar esse teste e calcular uma integral que corresponde à série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste afirma que, para uma série da forma
, se
onde
é uma função positiva, contínua e decrescente para
, então a série converge se e somente se a integral
também converge.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Vamos considerar a função contínua e decrescente correspondente:
para
.
Passo 4
Aplicando o Teste da Integral, precisamos avaliar a integral imprópria:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifica a expressão.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Assim,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos analisar a convergência da integral:
O comportamento dessa integral depende do expoente
:
- Se
(ou seja, ): A função tende a zero quando tende ao infinito, fazendo com que a integral convirja. - Se
(ou seja, ): A função cresce ou se mantém constante, fazendo com que a integral diverja.
Resposta
A série
converge para todo
.