Use o teste da integral e encontre os valores de p para os quais a série é convergente. sumn=2^infty 1n^p ln n, p>0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série infinita:
sumn=2^infty 1n^p ln n, p>0
Queremos descobrir para quais valores de essa série converge usando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar aplicar esse teste e calcular uma integral que corresponde à série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste afirma que, para uma série da forma integralN^infty f(x) , dx , se onde é uma função positiva, contínua e decrescente para , então a série converge se e somente se a integral
também converge.

Passo 3

No nosso caso, temos f(x) = 1x^p ln x . Vamos considerar a função contínua e decrescente correspondente:
para .

Passo 4

Aplicando o Teste da Integral, precisamos avaliar a integral imprópria:
integral2^infty 1x^p ln x , dx
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifica a expressão.

Passo 5

Vamos fazer a substituição integral2^infty 1x^p ln x , dx = integralln 2^infty 1e^p u cdot u cdot e^u , du = integralln 2^infty e^(1 - p)uu , du . Assim, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos analisar a convergência da integral:
integralln 2^infty e^(1 - p)uu , du
O comportamento dessa integral depende do expoente :
  • Se (ou seja, ): A função tende a zero quando tende ao infinito, fazendo com que a integral convirja.
  • Se (ou seja, ): A função cresce ou se mantém constante, fazendo com que a integral diverja.

Resposta

A série converge para todo .

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