Determine o limite infinito.
d) lim x 2^- x^2-2x^2-4 x+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda da função . Isso envolve conceitos de limites, especialmente quando o valor de se aproxima de um ponto específico. Vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Olha só, o denominador x^2-2(x - 2)^2 é um quadrado perfeito, pois pode ser reescrito como . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 se aproxima de 2 por valores menores que 2 (ou seja, pela esquerda).
Para o numerador , substituindo , temos:
Então, o numerador se aproxima de 2.

Passo 4

No denominador, temos . Quando se aproxima de 2, se aproxima de 0. Elevando ao quadrado, também se aproxima de 0, mas sempre é positivo porque o quadrado de qualquer número é positivo.

Passo 5

Então, a função completa fica:
2(x - 2)^2
À medida que se aproxima de 2 pela esquerda, fica cada vez menor, fazendo com que a fração inteira fique cada vez maior.

Passo 6

Isso significa que o limite tende ao infinito positivo, pois estamos dividindo um número positivo por um número cada vez menor que se aproxima de zero.

Resposta

lim x 2^- x^2-2x^2-4x+4 = +infty

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