Determine o limite infinito.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda da função
. Isso envolve conceitos de limites, especialmente quando o valor de
se aproxima de um ponto específico. Vamos precisar analisar o comportamento do numerador e do denominador perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Olha só, o denominador
é um quadrado perfeito, pois pode ser reescrito como
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando
se aproxima de 2 por valores menores que 2 (ou seja, pela esquerda).
Para o numerador
, substituindo
, temos:
Então, o numerador se aproxima de 2.
Passo 4
No denominador, temos
. Quando
se aproxima de 2,
se aproxima de 0. Elevando ao quadrado,
também se aproxima de 0, mas sempre é positivo porque o quadrado de qualquer número é positivo.
Passo 5
Então, a função completa fica:
À medida que
se aproxima de 2 pela esquerda,
fica cada vez menor, fazendo com que a fração inteira fique cada vez maior.
Passo 6
Isso significa que o limite tende ao infinito positivo, pois estamos dividindo um número positivo por um número cada vez menor que se aproxima de zero.
Resposta
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