Determine o limite infinito.
satisfaça
satisfaça
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite infinito de
quando
se aproxima de
pela direita (
). O conteúdo aqui envolve cálculo de limites e o comportamento da função logaritmo natural próximo a certos pontos. Para resolver isso, vamos analisar o que acontece dentro do logaritmo conforme
se aproxima de
pelo lado direito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do logaritmo:
. Podemos fatorar isso para facilitar a análise:
Quando
se aproxima de
pela direita, ou seja, valores um pouquinho maiores que
, a expressão
fica um pouco positiva, enquanto
fica perto de
. Então, vamos ver o que acontece com
nesse caso.
Passo 3
Conforme
se aproxima de
, a expressão
tende a zero, mas de forma positiva. Portanto:
Aqui,
significa que o resultado está se aproximando de zero por valores positivos.
Passo 4
Agora, vamos analisar o logaritmo natural de um valor que está se aproximando de zero pela direita:
Sabemos que o logaritmo natural de valores muito pequenos e positivos tende a
. Ou seja, conforme
se aproxima de zero por valores positivos,
vai diminuindo sem limite.
Passo 5
Aplicando essa informação ao nosso caso:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
.
Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
.
(b) Confirme sua resposta da parte (a) fazendo 0 gráfico daf (av)
existir) por isão de seis
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Determine
e
(a) calculando para valores de ques
ximam de 1 pela esquerda e pela direita,
(a) calculando para valores de