Determine o limite das seguintes funções: (Durante a substituição se o resultado for uma indeterminação
, utilize as estratégias abordadas durante as aulas de cálculo I para resolver o problema (divisão polinomial, fatoração polinomial e racionalização) (10 pontos)
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite da função
. Estamos trabalhando com limites que envolvem radicais, e para resolver isso sem ficar preso na indeterminação
, vamos precisar usar a técnica de racionalização. Isso vai ajudar a simplificar a expressão e encontrar o limite desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se encontramos uma indeterminação:
Como dá uma indeterminação
, precisamos usar outra estratégia. A melhor opção aqui é racionalizar o numerador.
Passo 3
Para racionalizar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de
é
. Então, fazemos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos simplificar o
no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é
.
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da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
c)
c)
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Determine se
é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação diferencial
. Use o método de solução em série apropriado para obter duas soluções em série linearmente independentes da equação em torno de
.