Resolva a seguinte equação diferencial ordinárias:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que é:
Esse tipo de equação envolve derivadas de segunda ordem e é um pouco mais complexa, mas a gente vai quebrar em partes. Para resolver, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares de segunda ordem e usar alguns métodos como o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples dividindo todos os termos por :
Agora, a gente tem uma equação linear não homogênea da forma:
onde , e .

Passo 3

Vamos resolver a parte homogênea da equação primeiro, ou seja:
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler. A gente assume uma solução do tipo .
Vamos substituir na equação:
Substituindo:
Como , temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, a solução geral da parte homogênea é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo do lado direito é uma constante (1), vamos tentar uma solução constante .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso não funciona porque o lado esquerdo depende de e o lado direito é constante. Então, vamos tentar outra forma. Vamos tentar uma solução polinomial, por exemplo .
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine o limite das seguintes funções: (Durante a substituição se o resultado for uma indeterminação , utilize as estratégias abordadas durante as aulas de cálculo I para resolver o problema (divisão polinomial, fatoração polinomial e racionalização) (10 pontos)
a)
Resolva a equação do calor
sujeita às condições indicadas. Suponha uma haste de comprimento L.
Determine se é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação diferencial . Use o método de solução em série apropriado para obter duas soluções em série linearmente independentes da equação em torno de .
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
(b)