Determine se
é um ponto ordinário ou um ponto singular regular da equação diferencial
. Use o método de solução em série apropriado para obter duas soluções em série linearmente independentes da equação em torno de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a equação diferencial
e queremos saber se
é um ponto ordinário ou um ponto singular regular. Além disso, vamos usar o método de solução em série para encontrar duas soluções linearmente independentes dessa equação ao redor de
.
Passo 2
Para determinar se
é um ponto ordinário ou singular, analisamos a equação diferencial na forma padrão:
Aqui,
e
. Um ponto
é ordinário se
e
são analíticos em
. Caso contrário, é um ponto singular. Além disso, se
e
são analíticos em
, então
é um ponto singular regular.
No nosso caso,
:
Ambos são polinômios, portanto, analíticos em
. Assim,
é um ponto ordinário.
Passo 3
Como
é um ponto ordinário, podemos aplicar o método de séries de potências para encontrar soluções da forma:
Vamos substituir essa série na equação diferencial e determinar os coeficientes
de maneira que a equação seja satisfeita para todos os
.
Passo 4
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Vamos reindexar os somatórios para igualar as potências de
:
Igualando os coeficientes de cada potência de
a zero, obtemos a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem par e ímpar formam sequências independentes.
Passo 5
Podemos construir duas soluções independentes tomando
e
como parâmetros livres:
-
Primeira solução (
):
Apenas os termos pares são não nulos. Começamos comarbitrário, e todos os serão determinados a partir da relação de recorrência. Isso nos dá uma solução mesmo. -
Segunda solução (
):
Aqui, começamos comarbitrário, e os coeficientes ímpares são determinados pela recorrência. Isso fornece uma segunda solução independente da primeira.
Resposta
As duas soluções linearmente independentes da equação diferencial
em série ao redor de
são:
onde os coeficientes
e
são determinados pela relação de recorrência
.
Exercícios relacionados
Resolva a seguinte equação diferencial ordinárias:
Determine o limite das seguintes funções: (Durante a substituição se o resultado for uma indeterminação
, utilize as estratégias abordadas durante as aulas de cálculo I para resolver o problema (divisão polinomial, fatoração polinomial e racionalização) (10 pontos)
a)
a)
Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções.
(b)
(b)
Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais homogêneo de primeira ordem dado.
(a)
(a)