Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem. an=1n integral1^n d xx^p, p>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite da sequência , onde . Isso está relacionado ao cálculo de limites de sequências e ao uso de integrais para avaliar esses limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções da forma e depois analisar o comportamento da sequência conforme vai aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral integral 1x^p dx = integral x^-p dx = x^-p+1-p+1 + C = x^1-p1-p + C . Sabemos que a integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a integral1^n dxx^p = [ x^1-p1-p ]1^n = n^1-p1-p - 1^1-p1-p = n^1-p - 11-p :

Passo 4

Simplificando a expressão, podemos multiplicar numerador e denominador por n^1-p - 11-p = 1 - n^1-pp - 1 para facilitar:
integral1^n dxx^p = 1 - n^1-pp - 1
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos substituir a integral calculada na expressão da sequência an = 1n cdot 1 - n^1-pp - 1 :
an = 1 - n^1-pn(p - 1)
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Vamos analisar o termo limn to infty n^1-p = 0 quando tende ao infinito. Como , o expoente é negativo. Portanto, tende a zero à medida que cresce:

Passo 7

Substituindo esse limite na expressão de limn to infty an = limn to infty 1 - n^1-pn(p - 1) = 1 - 0infty cdot (p - 1) = 1infty = 0 :

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

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