Determine o limite das sequência ou demonstre que as mesmas divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o limite da sequência
, onde
. Isso está relacionado ao cálculo de limites de sequências e ao uso de integrais para avaliar esses limites. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções da forma
e depois analisar o comportamento da sequência conforme
vai aumentando.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral
. Sabemos que a integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 3
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Passo 4
Simplificando a expressão, podemos multiplicar numerador e denominador por
para facilitar:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos substituir a integral calculada na expressão da sequência
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Vamos analisar o termo
quando
tende ao infinito. Como
, o expoente
é negativo. Portanto,
tende a zero à medida que
cresce:
Passo 7
Substituindo esse limite na expressão de
:
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.