O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
pn+1=b pna+pn
onde pn é o tamanho da população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e do seu hábitat. Suponha que a população no ano 0 seja p0>0.
Agora assuma que a. Mostre que, se p0, então pn é crescente e 0. Mostre também que, se p0>b-a, assim, pn é decrescente e pn>b-a. Deduza que, se a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o tamanho de uma população de peixes muda ao longo dos anos usando a fórmula:
pn+1 = b cdot pna + pn
Aqui, é a população de peixes depois de anos, e e são constantes que dependem da espécie e do habitat. O que a gente precisa mostrar é que, se , o comportamento da população depende de onde a população começa, , em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre recorrência e sequências monótonas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um valor onde a população não muda mais, ou seja, p = b cdot pa + p . Isso é chamado de ponto fixo. Substituindo na fórmula:
p(a + p) = b cdot p
Multiplicando ambos os lados por a cdot p + p^2 = b cdot p p^2 + a p - b p = 0 p^2 + (a - b)p = 0 p(p + a - b) = 0 :
Simplificando:
Então, os pontos fixos são e .

Passo 3

Agora, sabemos que , então é um número positivo. Isso significa que temos dois pontos fixos: 0 e . Vamos analisar o comportamento da sequência dependendo de onde está em relação a .

Passo 4

Caso 1: Se pn+1 = b cdot pna + pn .
Queremos mostrar que pn+1 = b cdot pna + pn > b cdot pnb = pn é crescente e que para todo .
Vamos comparar com :
Como , então . Portanto:
Isso mostra que , ou seja, a sequência é crescente.
Além disso, como (porque e a expressão acima aumenta até ), garantimos que para todo .

Passo 5

Caso 2: Se pn+1 = b cdot pna + pn .
Agora, queremos mostrar que pn+1 = b cdot pna + pn < b cdot pnb = pn é decrescente e que para todo .
Vamos comparar com :
Como , então . Portanto:
Isso mostra que , ou seja, a sequência é decrescente.
Além disso, já que (pois a sequência está diminuindo em direção a ), garantimos que para todo .

Passo 6

Com os casos acima, vimos que se , a sequência aumenta até , e se , ela diminui até . Portanto, independentemente do valor inicial (desde que e ), a sequência converge para .

Resposta

Portanto, se limn infty pn = b - a , então:

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