O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e do seu hábitat. Suponha que a população no ano 0 seja
.
Agora assuma que
. Mostre que, se
, então
é crescente e
. Mostre também que, se
, assim,
é decrescente e
. Deduza que, se
Agora assuma que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como o tamanho de uma população de peixes muda ao longo dos anos usando a fórmula:
Aqui,
é a população de peixes depois de
anos, e
e
são constantes que dependem da espécie e do habitat. O que a gente precisa mostrar é que, se
, o comportamento da população depende de onde a população começa,
, em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre recorrência e sequências monótonas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um valor onde a população não muda mais, ou seja,
. Isso é chamado de ponto fixo. Substituindo na fórmula:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Então, os pontos fixos são
e
.
Passo 3
Agora, sabemos que
, então
é um número positivo. Isso significa que temos dois pontos fixos: 0 e
. Vamos analisar o comportamento da sequência
dependendo de onde
está em relação a
.
Passo 4
Caso 1: Se
.
Queremos mostrar que
é crescente e que
para todo
.
Vamos comparar
com
:
Como
, então
. Portanto:
Isso mostra que
, ou seja, a sequência é crescente.
Além disso, como
(porque
e a expressão acima aumenta até
), garantimos que
para todo
.
Passo 5
Caso 2: Se
.
Agora, queremos mostrar que
é decrescente e que
para todo
.
Vamos comparar
com
:
Como
, então
. Portanto:
Isso mostra que
, ou seja, a sequência é decrescente.
Além disso, já que
(pois a sequência está diminuindo em direção a
), garantimos que
para todo
.
Passo 6
Com os casos acima, vimos que se
, a sequência
aumenta até
, e se
, ela diminui até
. Portanto, independentemente do valor inicial
(desde que
e
), a sequência
converge para
.
Resposta
Portanto, se
, então: