Faça os seguintes itens:
e) Prove que se
, então,
ou
.
e) Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que está dentro dos números reais
. A condição dada é que a fronteira de
, denotada por
, é vazia. Nosso objetivo é provar que, se isso acontecer, então
ou é o conjunto vazio
ou é todo o conjunto dos números reais
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de
,
, consiste em todos os pontos onde qualquer intervalo ao redor desses pontos contém tanto elementos que estão em
quanto elementos que não estão em
. Se a fronteira é vazia, isso significa que não existem tais pontos críticos onde
“separa” o espaço.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que um conjunto é chamado de aberto se, para todo ponto dentro dele, existe um pequeno intervalo ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Além disso, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se a sua fronteira está incluída nele.
Passo 4
No caso da linha dos números reais
, os únicos conjuntos que são tanto abertos quanto fechados (chamados de clopenos) são o conjunto vazio
e todo o conjunto
em si. Isso porque qualquer outro conjunto teria uma fronteira não vazia.
Passo 5
Então, se
, isso implica que
não tem nenhuma fronteira, ou seja, não há pontos que estão “na borda” de
. Isso só é possível se
for completamente aberto e fechado ao mesmo tempo, o que, como vimos, só acontece se
for
ou
.
Resposta
Portanto, se
satisfaz
, então necessariamente
ou
.