Faça os seguintes itens:
e) Prove que se X ⊆ R satisfaz fr(X) = ∅, então, X = {} ou X = R.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que está dentro dos números reais . A condição dada é que a fronteira de , denotada por , é vazia. Nosso objetivo é provar que, se isso acontecer, então ou é o conjunto vazio ou é todo o conjunto dos números reais .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto. A fronteira de , , consiste em todos os pontos onde qualquer intervalo ao redor desses pontos contém tanto elementos que estão em quanto elementos que não estão em . Se a fronteira é vazia, isso significa que não existem tais pontos críticos onde “separa” o espaço.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que um conjunto é chamado de aberto se, para todo ponto dentro dele, existe um pequeno intervalo ao redor desse ponto que também está completamente dentro do conjunto. Além disso, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de limite, ou seja, se a sua fronteira está incluída nele.

Passo 4

No caso da linha dos números reais , os únicos conjuntos que são tanto abertos quanto fechados (chamados de clopenos) são o conjunto vazio e todo o conjunto em si. Isso porque qualquer outro conjunto teria uma fronteira não vazia.

Passo 5

Então, se , isso implica que não tem nenhuma fronteira, ou seja, não há pontos que estão “na borda” de . Isso só é possível se for completamente aberto e fechado ao mesmo tempo, o que, como vimos, só acontece se for ou .

Resposta

Portanto, se satisfaz , então necessariamente ou .

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