Determine os limites se existirem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, a gente vai trabalhar com funções trigonométricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões em série de Taylor para aproximar as funções seno e tangente perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão em série de Taylor para a função seno. Para valores de próximos de 0, temos:
Isso significa que, para pequenos valores de , pode ser aproximado por .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a função tangente. A expansão em série de Taylor para perto de é:
Então, pode ser aproximada por quando é pequeno.

Passo 4

Com essas aproximações, vamos substituir na expressão original do limite:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa fração:
Note que se cancela porque está presente tanto no numerador quanto no denominador.

Resposta

Então, o limite é .

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) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
c)
) Para fazer um trabalho escolar, Gustavo usou de uma folha de cartolina, enquanto sua irmã usou da mesma folha para fazer seu trabalho. Que fração dessa folha os dois usaram juntos?
) Calcule as frações e, se possível, simplifique o resultado.
f)
Determine os limites se existirem: