Determine os limites se existirem: lim x 0 sen x-xtan x-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, a gente vai trabalhar com funções trigonométricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões em série de Taylor para aproximar as funções seno e tangente perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão em série de Taylor para a função seno. Para valores de sen x = x - x^36 + termos de ordem superior próximos de 0, temos:
Isso significa que, para pequenos valores de , pode ser aproximado por .

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a função tangente. A expansão em série de Taylor para tan x = x + x^33 + termos de ordem superior perto de é:
Então, pode ser aproximada por quando é pequeno.

Passo 4

Com essas aproximações, vamos substituir na expressão original do limite:
Simplificando o numerador e o denominador:
sen x - xtan x - x approx (x - x^36) - x(x + x^33) - x

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa fração:
-x^36x^33 = -1/61/3 = -16 times 31 = -12
Note que se cancela porque está presente tanto no numerador quanto no denominador.

Resposta

Então, o limite é .

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