Determine os limites se existirem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, a gente vai trabalhar com funções trigonométricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar usar as expansões em série de Taylor para aproximar as funções seno e tangente perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a expansão em série de Taylor para a função seno. Para valores de
próximos de 0, temos:
Isso significa que, para pequenos valores de
, pode ser aproximado por
.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a função tangente. A expansão em série de Taylor para
perto de
é:
Então,
pode ser aproximada por
quando
é pequeno.
Passo 4
Com essas aproximações, vamos substituir na expressão original do limite:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa fração:
Note que
se cancela porque está presente tanto no numerador quanto no denominador.
Resposta
Então, o limite é
.
Exercícios relacionados
c)
f)
Determine os limites se existirem: