Determine os limites se existirem: lim x 0 a^x-1x,(0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde é um número positivo diferente de 1. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a expressão a^x = e^x cdot ln(a) . Sabemos que qualquer número positivo pode ser escrito na forma exponencial usando a base (onde é aproximadamente 2,71828). Assim, podemos escrever:
Aqui, é o logaritmo natural de .

Passo 3

Substituindo a^x - 1x = e^x cdot ln(a) - 1x na expressão original, temos:
Agora, vamos analisar o limite dessa expressão conforme se aproxima de 0.

Passo 4

Lembramos que um limite muito útil é:
limx to 0 e^k x - 1x = k
onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso limite, temos:
limx to 0 e^x cdot ln(a) - 1x = ln(a)

Resposta

O limite é igual a .

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