Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 1raiz[3]x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar manipular a expressão para torná-la mais simples e aplicar uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a raiz cúbica na expressão. Sabemos que integral 1x^1/3 - 1 , dx é o mesmo que . Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir:
u = x^1/3 - 1
Isso significa que:
x^1/3 = u + 1

Passo 4

Agora, vamos expressar x = (u + 1)^3 em termos de . Elevando ambos os lados à terceira potência:

Passo 5

Precisamos encontrar dx = 3(u + 1)^2 , du em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituindo integral 1u cdot 3(u + 1)^2 , du = 3 integral (u + 1)^2u , du e na integral original:

Passo 7

Vamos expandir (u + 1)^2 = u^2 + 2u + 1 :
3 integral u^2 + 2u + 1u , du = 3 integral ( u + 2 + 1u ) , du
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
3 ( integral u , du + integral 2 , du + integral 1u , du )
Calculando cada integral:
integral u , du = u^22
integral 2 , du = 2u
integral 1u , du = ln|u|

Passo 9

Substituindo de volta:
3 ( u^22 + 2u + ln|u| ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Agora, voltamos à variável original 32(x^1/3 - 1)^2 + 6(x^1/3 - 1) + 3ln|x^1/3 - 1| + C . Lembrando que , substituímos:

Resposta

A integral indefinida é:
32(x^1/3 - 1)^2 + 6(x^1/3 - 1) + 3ln|x^1/3 - 1| + C

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