Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente encontrar o maior intervalo onde um problema de valor inicial tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais, especificamente as de segunda ordem. Vamos precisar entender um pouco sobre existência e unicidade de soluções para essas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial dada:
E as condições iniciais:
Passo 3
Para garantir que existe uma única solução duas vezes diferenciável para esse problema, precisamos que os coeficientes da equação sejam contínuos no intervalo considerado e que o coeficiente de não seja zero nesse intervalo. Isso vem do Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais lineares.
Passo 4
Vamos analisar o coeficiente de :
Esse coeficiente deve ser diferente de zero para que a equação seja considerada uma equação diferencial regular. Então, precisamos que:
Passo 5
Agora, nosso ponto inicial é . Queremos encontrar o maior intervalo em torno desse ponto onde a equação permanece regular, ou seja, onde e .
Passo 6
Como está à esquerda de e , o maior intervalo que podemos considerar sem encontrar problemas no coeficiente é de até . Se passarmos de , encontramos uma descontinuidade no coeficiente de , o que impede a garantia da existência e unicidade da solução.
Passo 7
Portanto, o maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é:
Resposta
O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é .