Determine os valores de , se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quanto ; determine, também, os valores de , se existirem, para os quais todas as soluções (não-nulas) tornam-se ilimitadas quando .
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores de que fazem com que todas as soluções dessa equação tendam a zero quando vai para infinito. Além disso, também vamos descobrir quais valores de fazem com que todas as soluções (que não sejam zero) se tornem ilimitadas quando vai para infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e analisar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Em equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a forma geral é:
A equação característica associada é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Simplificando o discriminante ():
Vamos expandir isso:
Então, , que sempre será maior ou igual a zero, indicando que temos raízes reais.
Passo 4
Agora que temos , podemos encontrar as raízes:
Vamos calcular as duas possibilidades:
Com o sinal positivo:
Com o sinal negativo:
Então, as raízes são e .
Passo 5
Agora que temos as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Se as raízes são reais e distintas, a solução é:
Substituindo e :
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando , ou seja, quando o tempo vai ao infinito.
Para ambas as soluções tenderem a zero, precisamos que os expoentes sejam negativos, para que .
Para tender a zero, precisamos que , ou seja, .
Para , o expoente já é negativo (), então essa parte sempre tende a zero.
Então, para que todas as soluções tendam a zero, basta que .
Passo 7
Agora, vamos ver quando todas as soluções tornam-se ilimitadas, ou seja, quando elas crescem sem limites conforme .
Para isso, pelo menos uma das funções exponenciais na solução geral deve crescer sem limite, o que acontece se o expoente for positivo.
Para crescer sem limite, precisamos que , ou seja, .
A segunda parte sempre tende a zero, então não contribui para o crescimento.
Então, para que todas as soluções não-nulas se tornem ilimitadas, é necessário que .
Resposta
Para , todas as soluções tendem a zero quando . Já para , todas as soluções (não-nulas) tornam-se ilimitadas quando .