Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(f) 9y'' + 6y' + 82y = 0, y(0) = -1, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar usar o método das equações características para achar a solução geral e, depois, aplicar as condições dadas para encontrar os coeficientes específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a primeira derivada.

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos por , por , e por 1:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.

Passo 5

Vamos encontrar as raízes:
Então, as raízes são:

Passo 6

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Condição 1:
Substituindo :
Condição 2:
Primeiro, vamos achar a derivada :
Substituindo :
Sabendo que :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(i) (t^2 - t) y'' + (t + 1) y' + y = e^t ; y(-1) = y0 ; y'(-1) = y1
Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(g) (t^2 - 1) y'' + (t - 2) y = t, y(0) = y0, y'(0) = y1
Determine os valores de alpha, se existirem, para os quais todas as soluções tendem a zero quanto t -> infinito; determine, também, os valores de alpha, se existirem, para os quais todas as soluções (não-nulas) tornam-se ilimitadas quando t -> infinito.
(b) y'' + (3 - alfa) y' - 2(alfa - 1) y = 0.
Verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
© x^2 y'' - 3x y' + 4y = x^2 ln(x), x > 0 ; y1(x) = x^2, y2(x) = x^2 ln(x).