Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar usar o método das equações características para achar a solução geral e, depois, aplicar as condições dadas para encontrar os coeficientes específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo , e é a primeira derivada.
Passo 3
Agora, vamos montar a equação característica associada a essa equação diferencial. Substituímos por , por , e por 1:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante ():
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas.
Passo 5
Vamos encontrar as raízes:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .