Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de . Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição em função do tempo .
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 100 g que estica uma mola em 10 cm. A gente precisa descobrir três coisas sobre o movimento dessa massa na mola: a frequência, o período e a amplitude. Depois, vamos escrever a posição em função do tempo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) e a Lei de Hooke.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa está em gramas e o alongamento da mola em centímetros, então vamos manter essas unidades.
Massa (): 100 g
Alongamento (): 10 cm
Aceleração da gravidade ():
Passo 3
Vamos usar a Lei de Hooke para encontrar a constante da mola (). A Lei de Hooke diz que , onde é a força aplicada, é a constante da mola e é a deformação.
A força aqui é a força peso da massa:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a frequência angular () do movimento. A fórmula para em um MHS é:
Substituindo os valores:
Passo 5
A frequência () está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Então:
Passo 6
O período () é o inverso da frequência:
Passo 7
A amplitude () do movimento é a máxima deslocamento da posição de equilíbrio. No caso, inicialmente a mola está esticada 10 cm, então:
Passo 8
Para encontrar a posição em função do tempo, usamos a equação do MHS:
Onde é a fase inicial. Se considerarmos que no tempo a posição é máxima e a velocidade inicial é zero, então . Assim:
Passo 9
Agora, vamos para a parte (b) da questão. A massa é puxada para baixo esticando a mola em 1 cm e depois liberada com uma velocidade inicial para baixo de . Precisamos atualizar a posição considerando essas novas condições iniciais.
Passo 10
Com a nova amplitude inicial sendo 1 cm e uma velocidade inicial para baixo, a equação de movimento passa a ter uma fase inicial diferente.
A equação geral do MHS com amplitude e fase é:
Para incorporar a velocidade inicial, usamos a condição , onde a velocidade positiva é para cima e negativa para baixo.