Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^3 cm/s^2. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição s em função do tempo t.
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de 10 cm/s.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma massa de 100 g que estica uma mola em 10 cm. A gente precisa descobrir três coisas sobre o movimento dessa massa na mola: a frequência, o período e a amplitude. Depois, vamos escrever a posição em função do tempo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) e a Lei de Hooke.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para facilitar os cálculos. A massa está em gramas e o alongamento da mola em centímetros, então vamos manter essas unidades.
  • Massa ( ): 100 g
  • Alongamento ( ): 10 cm
  • Aceleração da gravidade ( ):

Passo 3

Vamos usar a Lei de Hooke para encontrar a constante da mola ( ). A Lei de Hooke diz que , onde é a força aplicada, é a constante da mola e é a deformação.
A força aqui é a força peso da massa:
Substituindo os valores:
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar a frequência angular ( ) do movimento. A fórmula para em um MHS é:
Substituindo os valores:

Passo 5

A frequência ( ) está relacionada com a frequência angular pela fórmula:
Então:

Passo 6

O período ( ) é o inverso da frequência:

Passo 7

A amplitude ( ) do movimento é a máxima deslocamento da posição de equilíbrio. No caso, inicialmente a mola está esticada 10 cm, então:

Passo 8

Para encontrar a posição em função do tempo, usamos a equação do MHS:
Onde é a fase inicial. Se considerarmos que no tempo a posição é máxima e a velocidade inicial é zero, então . Assim:

Passo 9

Agora, vamos para a parte (b) da questão. A massa é puxada para baixo esticando a mola em 1 cm e depois liberada com uma velocidade inicial para baixo de . Precisamos atualizar a posição considerando essas novas condições iniciais.

Passo 10

Com a nova amplitude inicial sendo 1 cm e uma velocidade inicial para baixo, a equação de movimento passa a ter uma fase inicial diferente.
A equação geral do MHS com amplitude e fase é:
Para incorporar a velocidade inicial, usamos a condição , onde a velocidade positiva é para cima e negativa para baixo.

Passo 11

Substituindo os valores:
Resolvendo para :

Passo 12

Substituindo na equação de :
Usando a identidade trigonométrica :

Resposta

  • Posição em função do tempo (parte b):

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