(a) Sejam U e V espaços vetoriais sobre
. Escreva a definição de uma Transformação Linear de
em V.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever a definição de uma Transformação Linear entre dois espaços vetoriais
e
sobre
. Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e como expressar isso formalmente.
Passo 2
Primeiro, uma transformação linear é uma função que passa vetores de um espaço vetorial
para outro espaço vetorial
de forma que duas propriedades principais sejam satisfeitas: preserva a adição de vetores e preserva a multiplicação por escalar.
Passo 3
Vamos detalhar essas propriedades:
-
Preservação da adição: Para quaisquer vetores
, Ou seja, a transformação de uma soma de vetores é igual à soma das transformações dos vetores individualmente. -
Preservação da multiplicação por escalar: Para qualquer vetor
e qualquer escalar , Isso significa que a transformação de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao escalar multiplicado pela transformação do vetor.
Passo 4
Além dessas propriedades, a transformação linear deve mapear o vetor nulo de
para o vetor nulo de
:
Essa condição é na verdade consequência das duas propriedades anteriores, mas é importante destacá-la.
Resposta
Assim, a definição de uma Transformação Linear de
em
é uma função
que satisfaz, para todos os vetores
e para todo escalar
:
Isso garante que a estrutura linear dos espaços vetoriais seja preservada pela transformação
.