(a) Sejam U e V espaços vetoriais sobre R. Escreva a definição de uma Transformação Linear de U em V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente escrever a definição de uma Transformação Linear entre dois espaços vetoriais e sobre . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver, vamos lembrar o que caracteriza uma transformação linear e como expressar isso formalmente.

Passo 2

Primeiro, uma transformação linear é uma função que passa vetores de um espaço vetorial para outro espaço vetorial de forma que duas propriedades principais sejam satisfeitas: preserva a adição de vetores e preserva a multiplicação por escalar.

Passo 3

Vamos detalhar essas propriedades:
  1. Preservação da adição: Para quaisquer vetores T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) ,
    T(cu) = cT(u)
    Ou seja, a transformação de uma soma de vetores é igual à soma das transformações dos vetores individualmente.
  2. Preservação da multiplicação por escalar: Para qualquer vetor e qualquer escalar ,
    Isso significa que a transformação de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao escalar multiplicado pela transformação do vetor.

Passo 4

Além dessas propriedades, a transformação linear deve mapear o vetor nulo de T(0U) = 0V para o vetor nulo de :
Essa condição é na verdade consequência das duas propriedades anteriores, mas é importante destacá-la.

Resposta

Assim, a definição de uma Transformação Linear de T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) e T(cu) = cT(u) em é uma função que satisfaz, para todos os vetores e para todo escalar :
Isso garante que a estrutura linear dos espaços vetoriais seja preservada pela transformação .

Exercícios relacionados