Determine a matriz da transformação linear T.
cc T: & R^4 (v1, v2, v3, v4) & longmapsto R^3 (v1+2 v2+v4, v3-4 v4, v1+2 v2+v3-3 v4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear . Estamos trabalhando com transformações lineares que mapeiam vetores de um espaço vetorial para outro. Aqui, vai de para . Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente do vetor de entrada afeta o vetor de saída e depois organizar isso em uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Essa matriz vai multiplicar um vetor de entrada para dar o vetor de saída desejado. No nosso caso, a matriz terá 3 linhas (porque mapeia para ) e 4 colunas (porque o vetor de entrada está em ).

Passo 3

Agora, vamos analisar como cada componente T(v1, v2, v3, v4) = (v1+2 v2+v4,, v3-4 v4,, v1+2 v2+v3-3 v4) do vetor de entrada afeta cada componente do vetor de saída.
A transformação é dada por:
Vamos separar isso em três equações:

Passo 4

Para montar a matriz, vamos ver como cada contribui para cada .
  • Para :
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é 2
    • Coeficiente de é 0 (não aparece)
    • Coeficiente de é 1
  • Para :
    • Coeficiente de é 0
    • Coeficiente de é 0
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é -4
  • Para :
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é 2
    • Coeficiente de é 1
    • Coeficiente de é -3

Passo 5

Com esses coeficientes, podemos montar a matriz A = 1 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -4 1 & 2 & 1 & -3 que representa a transformação . Cada linha da matriz corresponde a uma das equações , e cada coluna corresponde a um .
Assim, a matriz fica:

Resposta

A matriz da transformação linear A = 1 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -4 1 & 2 & 1 & -3 é:

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