Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a matriz da transformação linear. Estamos trabalhando com transformações lineares que mapeiam vetores de um espaço vetorial para outro. Aqui, vai de para . Para resolver isso, vamos precisar entender como cada componente do vetor de entrada afeta o vetor de saída e depois organizar isso em uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Essa matriz vai multiplicar um vetor de entrada para dar o vetor de saída desejado. No nosso caso, a matriz terá 3 linhas (porque mapeia para ) e 4 colunas (porque o vetor de entrada está em ).
Passo 3
Agora, vamos analisar como cada componente do vetor de entrada afeta cada componente do vetor de saída.
A transformação é dada por:
Vamos separar isso em três equações:
Passo 4
Para montar a matriz, vamos ver como cada contribui para cada .
Para :
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é 2
Coeficiente de é 0 (não aparece)
Coeficiente de é 1
Para :
Coeficiente de é 0
Coeficiente de é 0
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é -4
Para :
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é 2
Coeficiente de é 1
Coeficiente de é -3
Passo 5
Com esses coeficientes, podemos montar a matriz que representa a transformação . Cada linha da matriz corresponde a uma das equações , e cada coluna corresponde a um .
Assim, a matriz fica:
Resposta
A matriz da transformação linear A = 1 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -4 1 & 2 & 1 & -3 é: