Encontre a transformação linear
sabendo que
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! Primeiro, o que a gente tem aqui é uma transformação linear
. Isso basicamente significa que
pega vetores de duas dimensões e os transforma em outros vetores também de duas dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como representar
com uma matriz e usar as informações dadas para encontrar essa matriz.
Passo 2
Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como
vai de
para
, a matriz
que representa
será uma matriz
. Vamos chamar os elementos dessa matriz de
, então:
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que, ao multiplicarmos a matriz
pelo vetor
, o resultado deve ser
. Vamos escrever isso matematicamente:
[
]
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Também sabemos que
. Similarmente, multiplicando
pelo vetor
, o resultado deve ser
. Então:
[
]
Isso nos dá mais duas equações:
3.
4.
3.
4.
Passo 5
Agora temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
.
Passo 6
Primeiro, resolvemos as equações 1 e 3 para encontrar
e
.
Da equação 3:
→
→
Substituindo
na equação 1:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Agora, encontramos
:
Passo 7
Agora, resolvemos as equações 2 e 4 para encontrar
e
.
Da equação 4:
→
→
Substituindo
na equação 2:
Multiplicando tudo por 2:
Agora, encontramos
:
Resposta
A transformação linear
é representada pela matriz:
Exercícios relacionados
Encontre a matriz que representa
em relação à base canônica de
e a matriz que representa
em relação à base dada em (a). Use a segunda matriz enocntrada para, dado
as coordenadas do vetor
na base dada em (a), encontrar
nesta mesma base. Diga por fim quem são
e
.
Determine a matriz da transformação linear
.
No triângulo equilátero
, sejam
e
os pontos médios dos lados
e
, respectivamente. Mostre que MBN também é um triângulo equilátero.
Seja
dada por
e considere as bases
e
. Encontre a matriz que representa
em relação às bases
e
. Sendo
, use a matriz para encontrar
, e use isso para dizer quem é
.