Encontre a transformação linear T: R^2 R^2 sabendo que T(2,3)= (2,3) e T(-3,2)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! Primeiro, o que a gente tem aqui é uma transformação linear . Isso basicamente significa que pega vetores de duas dimensões e os transforma em outros vetores também de duas dimensões. Para resolver, vamos precisar entender como representar com uma matriz e usar as informações dadas para encontrar essa matriz.

Passo 2

Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No nosso caso, como A = a & b c & d vai de para , a matriz que representa será uma matriz . Vamos chamar os elementos dessa matriz de , então:

Passo 3

Sabemos que 2 3 . Isso significa que, ao multiplicarmos a matriz 2 3 pelo vetor a & b c & d 2 3 = 2 3 , o resultado deve ser . Vamos escrever isso matematicamente:

[


]
Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Também sabemos que -3 2 . Similarmente, multiplicando 0 0 pelo vetor a & b c & d -3 2 = 0 0 , o resultado deve ser . Então:

[


]
Isso nos dá mais duas equações:
3.
4.

Passo 5

Agora temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de .

Passo 6

Primeiro, resolvemos as equações 1 e 3 para encontrar e .
Da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Agora, encontramos :

Passo 7

Agora, resolvemos as equações 2 e 4 para encontrar e .
Da equação 4:
Substituindo na equação 2:
Multiplicando tudo por 2:
Agora, encontramos :

Resposta

A transformação linear A = 413 & 613 613 & 913 é representada pela matriz:

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