Encontre a matriz que representa T em relação à base canônica de R^2 e a matriz que representa T em relação à base dada em (a). Use a segunda matriz enocntrada para, dado [u]=(2,-3) as coordenadas do vetor u na base dada em (a), encontrar [T(u)] nesta mesma base. Diga por fim quem são [u] e T(u).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas matrizes que representam a transformação linear :
  1. Na base canônica de : Essa é a base padrão, onde os vetores são e .
  2. Na base dada em (a): Infelizmente, o enunciado não mostrou qual é essa base, mas vamos supor que ela foi definida anteriormente no exercício.
Depois, com a segunda matriz que encontramos, vamos usar as coordenadas do vetor na base dada para encontrar nessa mesma base. Por fim, vamos identificar quem são e .
Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre transformações lineares, bases e mudança de base. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa a transformação a & c b & d na base canônica de A = 1 & 1 2 & -1 .
A base canônica é formada pelos vetores e . Para encontrar a matriz de nessa base, aplicamos em cada um desses vetores e colocamos os resultados como colunas na matriz.
Seja e , então a matriz de na base canônica é:
Mas, como o enunciado não especifica o que faz, vamos supor que seja definida, por exemplo, por . Assim:
Então, a matriz de na base canônica é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz que representa B = v1, v2 na base dada em (a). Para isso, precisamos saber quais são os vetores dessa base. Vamos supor que a base T(v1) = a v1 + b v2 seja formada por T(v2) = c v1 + d v2 e (2, 1) = a(1, 1) + b(1, -1) = (a + b, a - b) :
a + b = 2 a - b = 1
Vamos supor que 2a = 3 Rightarrow a = 32 e 32 + b = 2 Rightarrow b = 12 .
Para encontrar a matriz de (0, 3) = c(1, 1) + d(1, -1) = (c + d, c - d) nessa base, precisamos calcular c + d = 0 c - d = 3 e 2c = 3 Rightarrow c = 32 , ou seja, as coordenadas de 32 + d = 0 Rightarrow d = -32 e AB = 32 & 32 12 & -32 na base .
Primeiro, calculamos e :
Agora, precisamos expressar esses vetores na base . Ou seja, encontrar e tais que:
Resolvendo:
Para :
Então:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Para :
Então:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Portanto, a matriz de na base é:

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda matriz [T(u)]B = AB cdot [u] = 32 & 32 12 & -32 2 -3 para encontrar 32 cdot 2 + 32 cdot (-3) = 3 - 92 = -32 , dado que 12 cdot 2 + (-32) cdot (-3) = 1 + 92 = 112 nas coordenadas da base [T(u)]B = -32 112 .
A multiplicação da matriz pela coordenada do vetor nos dá a coordenada da imagem pela transformação:
Calculando:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Então:

Passo 5

Por fim, vamos esclarecer quem são e :
  • são as coordenadas do vetor na base . Isso significa que , onde e são os vetores da base .
  • é a imagem do vetor pela transformação . Nas coordenadas da base , , o que significa que .

Resposta

A matriz que representa A = 1 & 1 2 & -1 na base canônica de AB = 32 & 32 12 & -32 é:
[T(u)]B = -32 112
E a matriz que representa na base é:
Com as coordenadas na base , temos:
Portanto, são as coordenadas do vetor na base , e é a imagem de pela transformação na mesma base.

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