Encontre a matriz que representa
em relação à base canônica de
e a matriz que representa
em relação à base dada em (a). Use a segunda matriz enocntrada para, dado
as coordenadas do vetor
na base dada em (a), encontrar
nesta mesma base. Diga por fim quem são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas matrizes que representam a transformação linear
:
- Na base canônica de
: Essa é a base padrão, onde os vetores são e . - Na base dada em (a): Infelizmente, o enunciado não mostrou qual é essa base, mas vamos supor que ela foi definida anteriormente no exercício.
Depois, com a segunda matriz que encontramos, vamos usar as coordenadas do vetor
na base dada para encontrar
nessa mesma base. Por fim, vamos identificar quem são
e
.
Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre transformações lineares, bases e mudança de base. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa a transformação
na base canônica de
.
A base canônica é formada pelos vetores
e
. Para encontrar a matriz de
nessa base, aplicamos
em cada um desses vetores e colocamos os resultados como colunas na matriz.
Seja
e
, então a matriz de
na base canônica é:
Mas, como o enunciado não especifica o que
faz, vamos supor que
seja definida, por exemplo, por
. Assim:
Então, a matriz de
na base canônica é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a matriz que representa
na base dada em (a). Para isso, precisamos saber quais são os vetores dessa base. Vamos supor que a base
seja formada por
e
:
Vamos supor que
e
.
Para encontrar a matriz de
nessa base, precisamos calcular
e
, ou seja, as coordenadas de
e
na base
.
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, precisamos expressar esses vetores na base
. Ou seja, encontrar
e
tais que:
Resolvendo:
Para
:
Então:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Para
:
Então:
Somando as duas equações:
Substituindo em
:
Portanto, a matriz de
na base
é:
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda matriz
para encontrar
, dado que
nas coordenadas da base
.
A multiplicação da matriz pela coordenada do vetor nos dá a coordenada da imagem pela transformação:
Calculando:
Para a primeira coordenada:
Para a segunda coordenada:
Então:
Passo 5
Por fim, vamos esclarecer quem são
e
:
-
são as coordenadas do vetor na base . Isso significa que , onde e são os vetores da base . -
é a imagem do vetor pela transformação . Nas coordenadas da base , , o que significa que .
Resposta
A matriz que representa
na base canônica de
é:
E a matriz que representa
na base
é:
Com as coordenadas
na base
, temos:
Portanto,
são as coordenadas do vetor
na base
, e
é a imagem de
pela transformação
na mesma base.
Exercícios relacionados
Determine a matriz da transformação linear
.
Que condições devem satisfazer os vetores
e
para que o vetor
divida o ângulo formado por eles em dois ângulos congruentes?
Encontre a transformação linear
sabendo que
e
No triângulo equilátero
, sejam
e
os pontos médios dos lados
e
, respectivamente. Mostre que MBN também é um triângulo equilátero.