Determine os máximos e mínimos globais para:
Q(y) = 3 y * (y + 4)^(2 / 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os máximos e mínimos globais da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para encontrar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores máximos ou mínimos. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e então analisar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função em relação a . Para isso, usamos a regra do produto, já que é o produto de e .
A derivada de será:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:

Passo 4

Precisamos encontrar onde ou onde a derivada não existe. Vamos igualar a derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Além disso, a derivada não existe quando , ou seja, .

Passo 5

Agora temos dois pontos críticos: e . Vamos analisar cada um para determinar se são máximos ou mínimos.
Primeiro, avaliamos a função em :
Isso resulta em um valor específico que representa um ponto de mínimo ou máximo.
Em , a função se comporta de maneira especial, já que se torna zero:
Portanto, é um ponto onde a função atinge zero.

Passo 6

Para determinar se é um máximo ou mínimo, podemos observar o comportamento da derivada ao redor desse ponto ou usar o teste da segunda derivada. Neste caso, vamos notar que a função atinge um valor mínimo em e um valor máximo em , onde a função é zero.

Resposta

Os máximos e mínimos globais da função são:
  • Máximo global em com .
  • Mínimo global em com .

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