Determine os máximos e mínimos globais para:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os máximos e mínimos globais da função
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas para encontrar pontos críticos onde a função pode atingir seus valores máximos ou mínimos. Vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é zero ou não existe, e então analisar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
em relação a
. Para isso, usamos a regra do produto, já que
é o produto de
e
.
A derivada de
será:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Passo 4
Precisamos encontrar onde
ou onde a derivada não existe. Vamos igualar a derivada a zero:
O numerador deve ser zero:
Além disso, a derivada não existe quando
, ou seja,
.
Passo 5
Agora temos dois pontos críticos:
e
. Vamos analisar cada um para determinar se são máximos ou mínimos.
Primeiro, avaliamos a função em
:
Isso resulta em um valor específico que representa um ponto de mínimo ou máximo.
Em
, a função se comporta de maneira especial, já que
se torna zero:
Portanto,
é um ponto onde a função atinge zero.
Passo 6
Para determinar se
é um máximo ou mínimo, podemos observar o comportamento da derivada ao redor desse ponto ou usar o teste da segunda derivada. Neste caso, vamos notar que a função atinge um valor mínimo em
e um valor máximo em
, onde a função é zero.
Resposta
Os máximos e mínimos globais da função
são:
- Máximo global em
com . - Mínimo global em
com .
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e
.
Determine os máximos e mínimos globais para:
Calcule
, onde
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e
. (Obs.: Duas retas são chamadas de reversas se não são paralelas nem se interceptam.)