Determine as medidas dos eixos real e imaginário e as coordenadas dos focos das hipérboles de equações: 9 x^2-4 y^2-18 x-16 y-43=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole: . A matéria que estamos mexendo aqui é a de hipérboles, que são um tipo de cônica. Para resolver, vamos completar os quadrados em e para colocar a equação na forma padrão da hipérbole. Isso nos ajuda a identificar os eixos real e imaginário, além dos focos.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 9x^2 - 18x - 4y^2 - 16y = 43 e de 9(x^2 - 2x) - 4(y^2 + 4y) = 43:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:

Passo 3

Em seguida, completamos o quadrado para os termos de x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 e de 9(x^2 - 2x) = 9(x - 1)^2 - 9 . Para y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 :
-4(y^2 + 4y) = -4(y + 2)^2 + 16
Multiplicando por 9:
Para :
Multiplicando por -4:

Passo 4

Substituímos de volta na equação original:
9(x - 1)^2 - 9 - 4(y + 2)^2 + 16 = 43
Simplificando os números:
9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 + 7 = 43
Subtraindo 7 de ambos os lados:
9(x - 1)^2 - 4(y + 2)^2 = 36

Passo 5

Vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 36:
(x - 1)^24 - (y + 2)^29 = 1
Essa é a forma padrão da hipérbole , onde é o centro.

Passo 6

Identificamos os parâmetros:
  • Centro:

Passo 7

Para encontrar os eixos:
  • Eixo real: está associado a e é a direção onde a hipérbole se abre. Medida:
  • Eixo imaginário: está associado a e é perpendicular ao eixo real. Medida:

Passo 8

Para achar os focos, usamos a relação c^2 = 4 + 9 = 13 Rightarrow c = raiz13 :
(,1 pm raiz13,, -2,)
Os focos estão a uma distância do centro ao longo do eixo real:

Resposta

  • Eixo real: medida de 4 unidades.
  • Eixo imaginário: medida de 6 unidades.
  • Focos: as coordenadas são e .

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