Determine as medidas dos eixos real e imaginário e as coordenadas dos focos das hipérboles de equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de hipérbole:
. A matéria que estamos mexendo aqui é a de hipérboles, que são um tipo de cônica. Para resolver, vamos completar os quadrados em
e
para colocar a equação na forma padrão da hipérbole. Isso nos ajuda a identificar os eixos real e imaginário, além dos focos.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e de
:
Agora, vamos fatorar os coeficientes dos termos quadráticos:
Passo 3
Em seguida, completamos o quadrado para os termos de
e de
. Para
:
Multiplicando por 9:
Para
:
Multiplicando por -4:
Passo 4
Substituímos de volta na equação original:
Simplificando os números:
Subtraindo 7 de ambos os lados:
Passo 5
Vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por 36:
Essa é a forma padrão da hipérbole
, onde
é o centro.
Passo 6
Identificamos os parâmetros:
- Centro:
-
-
Passo 7
Para encontrar os eixos:
- Eixo real: está associado a
e é a direção onde a hipérbole se abre. Medida: - Eixo imaginário: está associado a
e é perpendicular ao eixo real. Medida:
Passo 8
Para achar os focos, usamos a relação
:
Os focos estão a uma distância
do centro ao longo do eixo real:
Resposta
- Eixo real: medida de 4 unidades.
- Eixo imaginário: medida de 6 unidades.
- Focos: as coordenadas são
e .