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Seja , onde .
(a) Encontre todos os valores de que tornam a transformação linear invertível.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar todos os valores de que tornam a transformação linear invertível. A matéria que vamos utilizar aqui é a Teoria das Transformações Lineares e, mais especificamente, vamos verificar quando uma transformação linear é invertível usando matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar a transformação linear como uma matriz. Dada a transformação , podemos escrever a matriz associada a da seguinte maneira:
Passo 3
Uma transformação linear é invertível se e somente se a matriz associada a ela for invertível. E uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante da matriz e encontrar para quais valores de esse determinante não é zero.
Podemos expandir este determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Laplace no primeiro elemento da primeira linha: