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Seja T(x, y, z)=(x+z, y+z, a^2 y+z), onde a in R.
(a) Encontre todos os valores de a que tornam a transformação linear T invertível.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para encontrar todos os valores de que tornam a transformação linear invertível. A matéria que vamos utilizar aqui é a Teoria das Transformações Lineares e, mais especificamente, vamos verificar quando uma transformação linear é invertível usando matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar a transformação linear A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & a^2 & 1 como uma matriz. Dada a transformação , podemos escrever a matriz associada a da seguinte maneira:

Passo 3

Uma transformação linear é invertível se e somente se a matriz associada a ela for invertível. E uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, vamos calcular o determinante da matriz e encontrar para quais valores de esse determinante não é zero.

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & a^2 & 1 :
det(A) = 1 cdot 1 & 1 a^2 & 1 - 0 cdot 0 & 1 0 & 1 + 1 cdot 0 & 1 0 & a^2
Podemos expandir este determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Laplace no primeiro elemento da primeira linha:
1 & 1 a^2 & 1 = (1)(1) - (1)(a^2) = 1 - a^2
Calculando os menores:
0 & 1 0 & a^2 = (0)(a^2) - (1)(0) = 0
det(A) = 1 cdot (1 - a^2) - 0 + 1 cdot 0 = 1 - a^2
Portanto:

Passo 5

Para que a transformação 1 - a^2 neq 0 seja invertível, precisamos que a^2 neq 1 Rightarrow a neq pm 1 . Assim:
Resolvendo para :

Resposta

Os valores de que tornam a transformação linear invertível são todos os números reais diferentes de e . Ou seja, tais que .

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