Escreva a equação da hipérbole eqüilátera (quando a=b ) cujos focos são F1=(0,-3) e F a=(0,3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para escrever a equação de uma hipérbole eqüilátera (onde ) com os focos em e . Vamos precisar entender as propriedades das hipérboles, especialmente como relacionar os parâmetros , e (a distância dos focos ao centro).

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o centro da hipérbole. Como os focos estão em Centro = ( 0 + 02, -3 + 32 ) = (0, 0) e , o centro está na metade do caminho entre eles. Calculando:
Então, o centro está na origem.

Passo 3

A distância entre o centro e um dos focos é chamada de c = 3 . Calculando c^2 = a^2 + b^2 :
c^2 = 2a^2 implies a^2 = c^22 = 92
Sabemos que, para uma hipérbole, a relação entre , e é:
Como a hipérbole é eqüilátera, temos . Substituindo:

Passo 4

Agora, sabemos que y^2a^2 - x^2b^2 = 1 e como y^292 - x^292 = 1 , também . A equação padrão de uma hipérbole com eixo vertical é:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A equação da hipérbole eqüilátera é:
y^292 - x^292 = 1

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