Escreva a equação da hipérbole eqüilátera (quando
) cujos focos são
e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para escrever a equação de uma hipérbole eqüilátera (onde
) com os focos em
e
. Vamos precisar entender as propriedades das hipérboles, especialmente como relacionar os parâmetros
,
e
(a distância dos focos ao centro).
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o centro da hipérbole. Como os focos estão em
e
, o centro está na metade do caminho entre eles. Calculando:
Então, o centro está na origem.
Passo 3
A distância entre o centro e um dos focos é chamada de
. Calculando
:
Sabemos que, para uma hipérbole, a relação entre
,
e
é:
Como a hipérbole é eqüilátera, temos
. Substituindo:
Passo 4
Agora, sabemos que
e como
, também
. A equação padrão de uma hipérbole com eixo vertical é:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A equação da hipérbole eqüilátera é: