Determine o módulo da corrente em um fio de raio
se o módulo da densidade de corrente é dado por:
(a)
(b)
© Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior? Justifique.
OBS: Considere que
.
OBS2: Nas letras (a) e (b), a variável
representa uma distância radial (medida a partir do centro do fio).
(a)
(b)
© Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior? Justifique.
OBS: Considere que
OBS2: Nas letras (a) e (b), a variável
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio com raio
mm e uma densidade de corrente que varia com a distância radial
a partir do centro do fio. Precisamos calcular o módulo da corrente total no fio para duas distribuições diferentes de densidade de corrente, além de comparar qual delas é maior perto da superfície do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a integração da densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a corrente total
a partir da densidade de corrente
. A corrente total é a integral de
sobre a área da seção transversal do fio. Como o fio é circular, usaremos coordenadas polares para fazer a integração. A área diferencial em coordenadas polares é
. Então, a corrente total é:
Passo 3
Letra (a)
Para a primeira parte, a densidade de corrente é dada por
. Vamos substituir isso na fórmula da corrente:
Simplificando:
Agora, vamos integrar
de 0 a
:
Substituindo de volta:
Passo 4
Letra (b)
Agora, para a segunda parte, a densidade de corrente é
. Vamos substituir na fórmula da corrente:
Distribuindo
:
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta:
Passo 5
Letra ©
Agora, vamos comparar as densidades de corrente perto da superfície do fio, ou seja, quando
se aproxima de
.
Para
:
Para
:
Então, perto da superfície (
próximo de
), a densidade de corrente
é maior que
.
Resposta
A densidade de corrente
é maior perto da superfície do fio.