(1,0) Determine o módulo da corrente em um fio de raio R=3,40 mm se o módulo da densidade de corrente é dado por:
(a) Ja(r)=J0(r / R)
(b) Jb(r)=J0(1-r / R)
© Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior? Justifique.
OBS: Considere que J0=7,5 cdot 10^4 A / m^2.
OBS2: Nas letras (a) e (b), a variável r representa uma distância radial (medida a partir do centro do fio).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio com raio mm e uma densidade de corrente que varia com a distância radial a partir do centro do fio. Precisamos calcular o módulo da corrente total no fio para duas distribuições diferentes de densidade de corrente, além de comparar qual delas é maior perto da superfície do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a integração da densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a corrente total I = integral0^R J(r) cdot 2pi r , dr a partir da densidade de corrente . A corrente total é a integral de sobre a área da seção transversal do fio. Como o fio é circular, usaremos coordenadas polares para fazer a integração. A área diferencial em coordenadas polares é . Então, a corrente total é:

Passo 3

Letra (a)

Para a primeira parte, a densidade de corrente é dada por Ia = integral0^R J0 ( rR ) cdot 2pi r , dr . Vamos substituir isso na fórmula da corrente:
Ia = 2pi J0 1R integral0^R r^2 , dr
Simplificando:
integral0^R r^2 , dr = [ r^33 ]0^R = R^33
Agora, vamos integrar Ia = 2pi J0 1R cdot R^33 = 2pi J0 R^23 de 0 a :
Substituindo de volta:

Passo 4

Letra (b)

Agora, para a segunda parte, a densidade de corrente é Ib = integral0^R J0 (1 - rR ) cdot 2pi r , dr . Vamos substituir na fórmula da corrente:
Ib = 2pi J0 integral0^R ( r - r^2R ) , dr
Distribuindo integral0^R r , dr = [ r^22 ]0^R = R^22 :
integral0^R r^2R , dr = 1R cdot R^33 = R^23
Integrando termo a termo:
Ib = 2pi J0 ( R^22 - R^23 ) = 2pi J0 ( 3R^2 - 2R^26 ) = 2pi J0 cdot R^26 = pi J0 R^23
Substituindo de volta:

Passo 5

Letra ©

Agora, vamos comparar as densidades de corrente perto da superfície do fio, ou seja, quando Ja(R) = J0 ( RR ) = J0 se aproxima de Jb(R) = J0 (1 - RR ) = 0 .
Para :
Para :
Então, perto da superfície ( próximo de ), a densidade de corrente é maior que .

Resposta

A densidade de corrente é maior perto da superfície do fio.

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