Determine o módulo da corrente em um fio de raio se o módulo da densidade de corrente é dado por:
(a)
(b)
© Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior? Justifique.
OBS: Considere que .
OBS2: Nas letras (a) e (b), a variável representa uma distância radial (medida a partir do centro do fio).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fio com raio mm e uma densidade de corrente que varia com a distância radial a partir do centro do fio. Precisamos calcular o módulo da corrente total no fio para duas distribuições diferentes de densidade de corrente, além de comparar qual delas é maior perto da superfície do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletromagnetismo, especificamente a integração da densidade de corrente sobre a área da seção transversal do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a corrente total a partir da densidade de corrente . A corrente total é a integral de sobre a área da seção transversal do fio. Como o fio é circular, usaremos coordenadas polares para fazer a integração. A área diferencial em coordenadas polares é . Então, a corrente total é:

Passo 3

Letra (a)

Para a primeira parte, a densidade de corrente é dada por . Vamos substituir isso na fórmula da corrente:
Simplificando:
Agora, vamos integrar de 0 a :
Substituindo de volta:

Passo 4

Letra (b)

Agora, para a segunda parte, a densidade de corrente é . Vamos substituir na fórmula da corrente:
Distribuindo :
Integrando termo a termo:
Substituindo de volta:

Passo 5

Letra ©

Agora, vamos comparar as densidades de corrente perto da superfície do fio, ou seja, quando se aproxima de .
Para :
Para :
Então, perto da superfície ( próximo de ), a densidade de corrente é maior que .

Resposta

A densidade de corrente é maior perto da superfície do fio.

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Substância
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