Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a . Sabendo-se que a massa da pedra é e que o raio da órbita é , determine o tempo necessário para a pedra completar uma volta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um menino que está girando uma pedra amarrada a um barbante, fazendo um círculo no plano horizontal. A pedra tem massa , a órbita tem raio , o barbante forma um ângulo com o plano da trajetória, e a gente quer descobrir quanto tempo a pedra leva para dar uma volta completa. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme e forças envolvidas nisso, como a força centrípeta e o equilíbrio das forças no barbante.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças atuando na pedra. Tem a força da gravidade puxando a pedra para baixo, que é , onde é a aceleração da gravidade. E tem a tensão no barbante, , que está inclinada num ângulo em relação ao plano horizontal. Essa tensão pode ser decomposta em duas componentes: vertical ( ) e horizontal ( ).

Passo 3

Agora, vamos pensar no equilíbrio das forças. Na direção vertical, a componente da tensão que puxa para cima deve equilibrar a força da gravidade que puxa para baixo. Então, podemos escrever:

Passo 4

Na direção horizontal, a componente da tensão está fornecendo a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Onde é a velocidade da pedra. Então, temos:

Passo 5

Vamos usar a equação da força vertical para expressar a tensão em termos de , e :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão de na equação da força horizontal:
Simplificando:
Onde .

Passo 7

Agora, queremos encontrar o tempo que a pedra leva para completar uma volta. Sabemos que o tempo é o período do movimento circular, que está relacionado à velocidade e ao raio pela fórmula:
Então, vamos resolver para usando a expressão de que encontramos.

Passo 8

Substituindo na fórmula do período:
Simplificando:
Como , podemos reescrever:

Resposta

O tempo necessário para a pedra completar uma volta é:

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Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a . Sabendo-se que a massa da pedra é e que o raio da órbita é , determine o módulo da força centrípeta responsável pelo movimento circular.
Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a . Sabendo-se que a massa da pedra é e que o raio da órbita é , determine:
Duas placas paralelas de de área recebem cargas de mesmo valor absoluto, , e sinais opostos. O campo elétrico no interior do dielétrico que preenche o espaço entre as placas é igual a .
(a) Calcule a constante dielétrica do material.
(b) Determine o módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico.
© Determine a densidade de energia elétrica entre as placas desse capacitor (dica: não se esqueça de levar em consideração os efeitos do dielétrico em sua solução).
OBS: Comente, em todos os itens, como você chegou aos resultados obtidos.
Determine o módulo da corrente em um fio de raio se o módulo da densidade de corrente é dado por:
(a)
(b)
© Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior? Justifique.
OBS: Considere que .
OBS2: Nas letras (a) e (b), a variável representa uma distância radial (medida a partir do centro do fio).