Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a
. Sabendo-se que a massa da pedra é
e que o raio da órbita é
, determine o tempo
necessário para a pedra completar uma volta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um menino que está girando uma pedra amarrada a um barbante, fazendo um círculo no plano horizontal. A pedra tem massa
, a órbita tem raio
, o barbante forma um ângulo
com o plano da trajetória, e a gente quer descobrir quanto tempo
a pedra leva para dar uma volta completa. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme e forças envolvidas nisso, como a força centrípeta e o equilíbrio das forças no barbante.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as forças atuando na pedra. Tem a força da gravidade puxando a pedra para baixo, que é
, onde
é a aceleração da gravidade. E tem a tensão no barbante,
, que está inclinada num ângulo
em relação ao plano horizontal. Essa tensão pode ser decomposta em duas componentes: vertical (
) e horizontal (
).
Passo 3
Agora, vamos pensar no equilíbrio das forças. Na direção vertical, a componente da tensão que puxa para cima deve equilibrar a força da gravidade que puxa para baixo. Então, podemos escrever:
Passo 4
Na direção horizontal, a componente da tensão está fornecendo a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Onde
é a velocidade da pedra. Então, temos:
Passo 5
Vamos usar a equação da força vertical para expressar a tensão
em termos de
,
e
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão de
na equação da força horizontal:
Simplificando:
Onde
.
Passo 7
Agora, queremos encontrar o tempo
que a pedra leva para completar uma volta. Sabemos que o tempo é o período
do movimento circular, que está relacionado à velocidade e ao raio pela fórmula:
Então, vamos resolver para
usando a expressão de
que encontramos.
Passo 8
Substituindo
na fórmula do período:
Simplificando:
Como
, podemos reescrever:
Resposta
O tempo necessário para a pedra completar uma volta é: