Um menino faz girar acima de sua cabeça uma pedra amarrada na ponta de um barbante, segurando na outra extremidade do mesmo. Considere que o plano do círculo formado pela trajetória da pedra seja horizontal e que o ângulo formado entre o barbante e o plano da trajetória seja igual a theta. Sabendo-se que a massa da pedra é m e que o raio da órbita é r, determine o tempo t necessário para a pedra completar uma volta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um menino que está girando uma pedra amarrada a um barbante, fazendo um círculo no plano horizontal. A pedra tem massa m, a órbita tem raio r, o barbante forma um ângulo theta com o plano da trajetória, e a gente quer descobrir quanto tempo t a pedra leva para dar uma volta completa. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular uniforme e forças envolvidas nisso, como a força centrípeta e o equilíbrio das forças no barbante.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças atuando na pedra. Tem a força da gravidade puxando a pedra para baixo, que é Fg = m cdot g, onde g é a aceleração da gravidade. E tem a tensão no barbante, T, que está inclinada num ângulo theta em relação ao plano horizontal. Essa tensão pode ser decomposta em duas componentes: vertical ( T cdot sintheta) e horizontal ( T cdot costheta).

Passo 3

Agora, vamos pensar no equilíbrio das forças. Na direção vertical, a componente da tensão que puxa para cima deve equilibrar a força da gravidade que puxa para baixo. Então, podemos escrever:
T cdot sintheta = m cdot g

Passo 4

Na direção horizontal, a componente da tensão está fornecendo a força centrípeta necessária para manter a pedra em movimento circular. A força centrípeta é dada por:
Fc = m cdot v^2r
Onde v é a velocidade da pedra. Então, temos:
T cdot costheta = m cdot v^2r

Passo 5

Vamos usar a equação da força vertical para expressar a tensão T em termos de m, g e theta:
T = m cdot gsintheta

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão de T na equação da força horizontal:
m cdot gsintheta cdot costheta = m cdot v^2r
Simplificando:
g cdot costhetasintheta = v^2r
v^2 = r cdot g cdot cottheta
Onde cottheta = costhetasintheta.

Passo 7

Agora, queremos encontrar o tempo t que a pedra leva para completar uma volta. Sabemos que o tempo é o período T do movimento circular, que está relacionado à velocidade e ao raio pela fórmula:
T = 2 pi rv
Então, vamos resolver para T usando a expressão de v que encontramos.

Passo 8

Substituindo v na fórmula do período:
T = 2 pi rraizr cdot g cdot cottheta
Simplificando:
T = 2 pi raizrg cdot cottheta
Como cottheta = costhetasintheta, podemos reescrever:
T = 2 pi raizr cdot sinthetag cdot costheta

Resposta

O tempo necessário para a pedra completar uma volta é:
t = 2 pi raizr cdot sinthetag cdot costheta

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