Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por s e tem uma densidade de massa superficial δ ( x , y ) = 3 y. Sabe-se que s = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 }

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto planar que ocupa uma região definida por $ S = { (x, y) , | , 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq x^2 } $ e uma densidade de massa superficial dada por $ \delta(x, y) = 3y $. Nosso objetivo é determinar o momento de inércia desse objeto em torno do eixo $ x $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo usando integrais duplas, já que estamos lidando com uma região bidimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Matemáticamente, para uma região plana, o momento de inércia $ I_x $ em torno do eixo $ x $ é dado por:
Ix
Aqui:
  • $ y^2 $ é a distância ao quadrado de cada ponto da massa ao eixo $ x $.
  • $ \delta(x, y) $ é a densidade de massa superficial.
  • $ dA $ é o elemento de área na integral dupla.

Passo 3

Agora, vamos substituir a densidade de massa dada na fórmula. Temos $ \delta(x, y) = 3y $, então:
de
O próximo passo é configurar os limites de integração com base na região $ S $. A região é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq x^2 $. Isso significa que para cada valor de $ x $ entre 0 e 1, $ y $ varia de 0 até $ x^2 $.

Passo 4

Vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Ix = 3 integralx=0^1 ( integraly=0^x^2 y^3 , dy ) dx
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^x^2 y^3 , dy = [ y^44 ]0^x^2 = (x^2)^44 - 0^44 = x^84
Substituindo de volta na integral externa:
Ix = 3 integral0^1 x^84 , dx = 34 integral0^1 x^8 , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a integral restante:
integral0^1 x^8 , dx = [ x^99 ]0^1 = 1^99 - 0^99 = 19
Multiplicando pelo coeficiente:
Ix = 34 cdot 19 = 336 = 112

Resposta

O momento de inércia em torno do eixo $ x $ é $ \boxed{\dfrac{1}{12}} $.

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