Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por s e tem uma densidade de massa superficial δ ( x , y ) = 3 y. Sabe-se que s = { ( x , y ) / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x 2 }
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto planar que ocupa uma região definida por $ S = { (x, y) , | , 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq x^2 } $ e uma densidade de massa superficial dada por $ \delta(x, y) = 3y $. Nosso objetivo é determinar o momento de inércia desse objeto em torno do eixo $ x $.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calculá-lo usando integrais duplas, já que estamos lidando com uma região bidimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Matemáticamente, para uma região plana, o momento de inércia $ I_x $ em torno do eixo $ x $ é dado por:
Aqui:
- $ y^2 $ é a distância ao quadrado de cada ponto da massa ao eixo $ x $.
- $ \delta(x, y) $ é a densidade de massa superficial.
- $ dA $ é o elemento de área na integral dupla.
Passo 3
Agora, vamos substituir a densidade de massa dada na fórmula. Temos $ \delta(x, y) = 3y $, então:
O próximo passo é configurar os limites de integração com base na região $ S $. A região é definida por $ 0 \leq x \leq 1 $ e $ 0 \leq y \leq x^2 $. Isso significa que para cada valor de $ x $ entre 0 e 1, $ y $ varia de 0 até $ x^2 $.
Passo 4
Vamos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo de volta na integral externa:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral restante:
Multiplicando pelo coeficiente:
Resposta
O momento de inércia em torno do eixo $ x $ é $ \boxed{\dfrac{1}{12}} $.