Determine os momentos de inércia da área abaixo em relação aos eixos x e y indicados. Resolva o problema usando, em cada caso, diferenciais
e dy.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de momentos de inércia! Primeiro, o que a gente precisa saber é que momentos de inércia são medidas que nos mostram como a área de uma forma está distribuída em relação a um eixo específico. No caso, temos que calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x e y. Para isso, vamos usar integrais com diferenciais
e
, aplicando conceitos de cálculo integral e geometria das áreas.
Passo 2
Vamos começar calculando o momento de inércia em relação ao eixo x, que chamamos de
. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
é a distância de cada elemento de área
ao eixo x. Para resolver essa integral, vamos expressar
em termos de
.
Passo 3
Assumindo que a área está descrita em termos de funções de
, podemos escrever:
Substituindo isso na fórmula do momento de inércia:
Agora, precisamos integrar
em relação a
sobre os limites da área.
Passo 4
Após realizar a integração, obtemos o valor de
. No caso desse exercício, o cálculo resulta em:
Passo 5
Agora vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo y, que é
. A fórmula é similar:
Dessa vez,
é a distância de cada elemento de área
ao eixo y. Vamos expressar
em termos de
.
Passo 6
Expressando
em termos de
:
Substituindo na fórmula do momento de inércia:
Integrando
em relação a
sobre os limites da área.
Passo 7
Depois de realizar a integração, encontramos o valor de
. Para este exercício, o resultado é:
Resposta
Os momentos de inércia da área são
e
.
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