Determine os momentos de inércia da área abaixo em relação aos eixos x e y indicados. Resolva o problema usando, em cada caso, diferenciais e dy.
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de momentos de inércia! Primeiro, o que a gente precisa saber é que momentos de inércia são medidas que nos mostram como a área de uma forma está distribuída em relação a um eixo específico. No caso, temos que calcular os momentos de inércia em relação aos eixos x e y. Para isso, vamos usar integrais com diferenciais e , aplicando conceitos de cálculo integral e geometria das áreas.

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia em relação ao eixo x, que chamamos de . A fórmula geral para isso é:
Aqui, é a distância de cada elemento de área ao eixo x. Para resolver essa integral, vamos expressar em termos de .

Passo 3

Assumindo que a área está descrita em termos de funções de , podemos escrever:
Substituindo isso na fórmula do momento de inércia:
Agora, precisamos integrar em relação a sobre os limites da área.

Passo 4

Após realizar a integração, obtemos o valor de . No caso desse exercício, o cálculo resulta em:

Passo 5

Agora vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo y, que é . A fórmula é similar:
Dessa vez, é a distância de cada elemento de área ao eixo y. Vamos expressar em termos de .

Passo 6

Expressando em termos de :
Substituindo na fórmula do momento de inércia:
Integrando em relação a sobre os limites da área.

Passo 7

Depois de realizar a integração, encontramos o valor de . Para este exercício, o resultado é:

Resposta

Os momentos de inércia da área são e .

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