Localize o centro de gravidade do tronco do paraboloide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o centro de gravidade ( ) do tronco de um paraboloide. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de centroides e volumes usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais em coordenadas apropriadas e aplicar a fórmula do centro de gravidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o centro de gravidade numa forma sólida é dado por:
Aqui, representa o volume do tronco do paraboloide.

Passo 3

Vamos supor que o paraboloide seja simétrico em relação ao eixo e que o tronco esteja entre duas alturas e . A equação geral de um paraboloide pode ser escrita como:
onde é a distância focal.

Passo 4

Como o paraboloide é simétrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessas coordenadas, o elemento de volume é:

Passo 5

Precisamos expressar em função de . A partir da equação do paraboloide:
Então, para cada , varia de até .

Passo 6

Agora, vamos configurar as integrais para o volume total e para .
Primeiro, a integral do volume:
E a integral para :

Passo 7

Vamos resolver a integral do volume primeiro:
Integrando em :
Então, fica:

Passo 8

Agora, vamos resolver :
Integrando em :
Então, fica:

Passo 9

Agora, substituímos as integrais na fórmula do centro de gravidade:
Simplificando:

Resposta

O centro de gravidade do tronco do paraboloide é:

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