Localize o centro de gravidade
do tronco do paraboloide.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o centro de gravidade (
) do tronco de um paraboloide. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de centroides e volumes usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais em coordenadas apropriadas e aplicar a fórmula do centro de gravidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o centro de gravidade
numa forma sólida é dado por:
Aqui,
representa o volume do tronco do paraboloide.
Passo 3
Vamos supor que o paraboloide seja simétrico em relação ao eixo
e que o tronco esteja entre duas alturas
e
. A equação geral de um paraboloide pode ser escrita como:
onde
é a distância focal.
Passo 4
Como o paraboloide é simétrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessas coordenadas, o elemento de volume
é:
Passo 5
Precisamos expressar
em função de
. A partir da equação do paraboloide:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 6
Agora, vamos configurar as integrais para o volume total
e para
.
Primeiro, a integral do volume:
E a integral para
:
Passo 7
Vamos resolver a integral do volume
primeiro:
Integrando em
:
Então, fica:
Passo 8
Agora, vamos resolver
:
Integrando em
:
Então, fica:
Passo 9
Agora, substituímos as integrais na fórmula do centro de gravidade:
Simplificando:
Resposta
O centro de gravidade
do tronco do paraboloide é:
Exercícios relacionados
Determine os momentos de inércia da área abaixo em relação aos eixos x e y indicados. Resolva o problema usando, em cada caso, diferenciais
e dy.
Resposta: .
Resposta:
Calcule os seguintes limites:
Um bloco de bronze de 250 mm de comprimento e seção transversal retangular de
deve suportar uma força de compressão centrada
. Determine: qual o máximo encurtamento admissível sabendo-se