Localize o centro de gravidade barz do tronco do paraboloide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o centro de gravidade ( ) do tronco de um paraboloide. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de centroides e volumes usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais em coordenadas apropriadas e aplicar a fórmula do centro de gravidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o centro de gravidade barz = integralV z , dV integralV dV numa forma sólida é dado por:
Aqui, representa o volume do tronco do paraboloide.

Passo 3

Vamos supor que o paraboloide seja simétrico em relação ao eixo z = x^2 + y^24f e que o tronco esteja entre duas alturas e . A equação geral de um paraboloide pode ser escrita como:
onde é a distância focal.

Passo 4

Como o paraboloide é simétrico, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas, onde dV = r , dr , dtheta , dz , e . Nessas coordenadas, o elemento de volume é:

Passo 5

Precisamos expressar z = r^24f Rightarrow r = raiz4f z em função de . A partir da equação do paraboloide:
Então, para cada , varia de até .

Passo 6

Agora, vamos configurar as integrais para o volume total V = integral0^2pi integralh1^h2 integral0^raiz4f z r , dr , dz , dtheta e para integralV z , dV = integral0^2pi integralh1^h2 integral0^raiz4f z z cdot r , dr , dz , dtheta .
Primeiro, a integral do volume:
E a integral para :

Passo 7

Vamos resolver a integral do volume V = integral0^2pi dtheta integralh1^h2 dz integral0^raiz4f z r , dr primeiro:
integral0^raiz4f z r , dr = [ r^22 ]0^raiz4f z = (4f z)2 = 2f z
Integrando em V = integral0^2pi dtheta integralh1^h2 2f z , dz = 2f cdot 2pi integralh1^h2 z , dz = 4pi f [ z^22 ]h1^h2 = 2pi f (z^2|h1^h2) :
Então, fica:

Passo 8

Agora, vamos resolver integralV z , dV = integral0^2pi dtheta integralh1^h2 dz integral0^raiz4f z z cdot r , dr :
integral0^raiz4f z z cdot r , dr = z [ r^22 ]0^raiz4f z = z cdot 4f z2 = 2f z^2
Integrando em integralV z , dV = integral0^2pi dtheta integralh1^h2 2f z^2 , dz = 2f cdot 2pi integralh1^h2 z^2 , dz = 4pi f [ z^33 ]h1^h2 = 4pi f3 (z^3|h1^h2) :
Então, fica:

Passo 9

Agora, substituímos as integrais na fórmula do centro de gravidade:
barz = 4pi f3 (z^3|h1^h2) 2pi f (z^2|h1^h2) = 23 cdot z^3|h1^h2z^2|h1^h2
Simplificando:
barz = 23 cdot h2^3 - h1^3h2^2 - h1^2

Resposta

O centro de gravidade barz = 23 cdot h2^3 - h1^3h2^2 - h1^2 do tronco do paraboloide é:

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