Determine n in N tal que 5 Z+7 Z=n Z.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a expressão e queremos encontrar um número natural tal que isso seja igual a .
Aqui, representa o conjunto dos números inteiros, e significa todos os múltiplos de . Então, é o conjunto de todos os números que podem ser formados somando múltiplos de 5 com múltiplos de 7. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre o máximo divisor comum (MDC) e como ele se relaciona com combinações lineares de números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o MDC de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. No nosso caso, queremos encontrar o MDC de 5 e 7.
Como 5 e 7 são primos entre si (ou seja, não têm nenhum divisor comum além de 1), o MDC deles é 1.
Matematicamente:
MDC(5, 7) = 1

Passo 3

Agora, sabemos que 5 Z + 7 Z = MDC(5, 7) Z = 1 Z . Isso significa que a soma dos conjuntos de múltiplos de 5 e 7 resulta no conjunto de múltiplos do MDC deles.
Aplicando isso:

Resposta

Portanto, o número natural que satisfaz a equação é .

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