Verifique se
.
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um ideal no anel
. Aqui, estamos trabalhando com álgebra abstrata, especificamente com estruturas chamadas de anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal e como verificar se
satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal. Em um anel
, um subconjunto
é chamado de ideal se:
-
é um subanel de (ou seja, é fechado sob adição e multiplicação por elementos de ). - Para qualquer elemento
em e qualquer elemento em , tanto quanto estão em .
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição:
é um subanel de
.
- Fechado sob adição: Se
e estão em , então e . Então, . Logo, está em . - Fechado sob multiplicação: Para
, . Então, está em .
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição: para qualquer
e
,
e
devem estar em
.
- Multiplicação à esquerda:
. - Multiplicação à direita:
.
Como em ambos os casos o resultado é zero,
e
pertencem a
.
Resposta
Sim,
é um ideal do anel
.