Determine o numero de anagramas na palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA? Com explicação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de combinatória! A questão pede para a gente descobrir quantos anagramas existem na palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA. Um anagrama é basicamente uma rearrumação das letras de uma palavra. Para resolver isso, vamos precisar contar quantas letras tem essa palavra e identificar quais letras se repetem e quantas vezes elas aparecem.

Passo 2

Primeiro, vamos contar o número total de letras na palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA.
A palavra tem 20 letras.

Passo 3

Agora, vamos identificar quais letras se repetem e quantas vezes cada uma aparece:
  • O: 6 vezes
  • R: 3 vezes
  • I: 3 vezes
  • T: 1 vez
  • N: 2 vezes
  • L: 2 vezes
  • A: 1 vez
  • G: 1 vez
  • S: 1 vez

Passo 4

Com essas informações, usamos a fórmula para calcular o número de anagramas de uma palavra com letras que se repetem:
Número de anagramas = n!n1! times n2! times dots times nk! ú
onde:
  • $ n $ é o número total de letras,
  • $ n_1, n_2, \dots, n_k $ são as quantidades de cada letra que se repete.

Passo 5

Substituindo os valores que temos:
Número de anagramas = 20!6! times 3! times 3! times 2! times 2! times 1! times 1! times 1! ú

Passo 6

Agora, vamos calcular os fatoriais:
  • $ 20! $ é o fatorial de 20,
  • $ 6! = 720 $,
  • $ 3! = 6 $,
  • $ 2! = 2 $,
  • $ 1! = 1 $.
Portanto:
20! ú

Passo 7

Simplificando o denominador:
720 times 6 = 4320
4320 times 6 = 25920
25920 times 2 = 51840
51840 times 2 = 103680
Então:
Número de anagramas = 20!103680 ú

Passo 8

Calculando $ 20! $:
20!
Dividindo pelo denominador:
20! = 2.432902008 times 10^18

Resposta

O número de anagramas da palavra OTORRINOLARINGOLOGISTA é aproximadamente $ 2.347 \times 10^{13} $.

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