Determine o número complexo z tal que 5 z+barz=12+16 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que pede para encontrar o número complexo tal que . Aqui, estamos lidando com números complexos e conjugados. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar números complexos na forma e como trabalhar com seus conjugados.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo z = a + b i na forma padrão:
onde é a parte real e é a parte imaginária de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o conjugado de z = a - b i , que é representado por :
O conjugado simplesmente inverte o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Substituímos 5z + z = 12 + 16i e 5(a + b i) + (a - b i) = 12 + 16i na equação original:

Passo 5

Vamos distribuir o 5 na expressão:
5a + 5b i + a - b i = 12 + 16i

Passo 6

Agora, vamos juntar as partes reais e imaginárias:
(5a + a) + (5b i - b i) = 12 + 16i
6a + 4b i = 12 + 16i

Passo 7

Para que essa igualdade seja verdadeira, as partes reais e imaginárias dos dois lados da equação devem ser iguais. Então, temos:
6a = 12 e 4b = 16

Passo 8

Resolvendo para a = 126 = 2 e b = 164 = 4 :

Resposta

O número complexo z = 2 + 4i que satisfaz a equação é:

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