Os vetores u u e v formam um ângulo de 60^circ. Sabe-se que ||u||=8 e ||v||=5, calcule:
c) ||2 u+3 v||
RESP: c) raiz721

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u e v, que formam um ângulo de 60 graus entre eles. A gente sabe que o tamanho (ou módulo) de u é 8 e o de v é 5. A missão é descobrir o tamanho do vetor resultante de 2u + 3v.
Para resolver isso, vamos usar um lance de álgebra vetorial, especificamente a fórmula para encontrar o módulo da soma de vetores com coeficientes. Vamos precisar lembrar como se calcula a magnitude de uma soma de vetores quando sabemos os módulos individuais e o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 2u + 3v. Isso quer dizer que estamos multiplicando o vetor u por 2 e o vetor v por 3, e depois somando esses dois vetores. O que queremos é descobrir o tamanho desse novo vetor resultante.

Passo 3

Para calcular o módulo de 2u + 3v, usamos a seguinte fórmula:
||A + B|| = raiz||A||^2 + ||B||^2 + 2 cdot ||A|| cdot ||B|| cdot cos(theta)
Aqui, A seria 2u e B seria 3v, e é o ângulo entre eles, que é 60 graus.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Módulo de 2u:
||2u|| = 2 cdot ||u|| = 2 cdot 8 = 16
||2u||^2 = 16^2 = 256
  1. Módulo de 3v:
||3v|| = 3 cdot ||v|| = 3 cdot 5 = 15
||3v||^2 = 15^2 = 225
  1. Termo cruzado:
2 cdot ||2u|| cdot ||3v|| cdot cos(60^circ) = 2 cdot 16 cdot 15 cdot 0.5 = 240
(Note que )

Passo 5

Agora, somamos tudo na fórmula:
||2u + 3v|| = raiz256 + 225 + 240 = raiz721

Resposta

c)

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