Um vetor v forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que ||v||=3.
RESP: v=raiz3(1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos um vetor v que forma ângulos agudos iguais com os semi-eixos coordenados positivos. Além disso, sabemos que o tamanho (ou módulo) desse vetor é 3. A matéria que vamos precisar aqui envolve vetores, ângulos e a fórmula do módulo de um vetor. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, como o vetor forma ângulos iguais com os três semi-eixos coordenados positivos (x, y e z), isso significa que as componentes do vetor nas direções x, y e z são iguais. Vamos chamar cada uma dessas componentes de a. Então, podemos escrever o vetor como:
v = (a, a, a)

Passo 3

Agora, precisamos usar a informação do módulo do vetor. A fórmula para o módulo de um vetor v = (x, y, z) é:
||v|| = raizx^2 + y^2 + z^2
Sabemos que ||v|| = 3, então substituindo:
3 = raiza^2 + a^2 + a^2 = raiz3a^2

Passo 4

Vamos resolver para a. Primeiro, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
9 = 3a^2
Agora, dividimos ambos os lados por 3:
a^2 = 3
E tiramos a raiz quadrada para encontrar a:
a = raiz3

Passo 5

Agora que sabemos que a = raiz3, podemos escrever as componentes do vetor:
v = (raiz3, raiz3, raiz3)
Ou, de forma fatorada:
v = raiz3(1, 1, 1)

Resposta

v = raiz3,(1,,1,,1)

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