Determine o número de divisores positivos do inteiro 7704.

Passo 1

Beleza, o problema é descobrir quantos divisores positivos o número 7704 tem. Vamos usar conceitos de fatoração em números primos e a fórmula para encontrar a quantidade de divisores. Para resolver isso, precisamos fatorar o 7704 nos seus números primos e depois aplicar a fórmula que calcula o número de divisores a partir dessa fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 7704 em seus fatores primos. Começamos dividindo por menores números primos:
  • Dividindo por 2: 7704 é par, então 7704 ÷ 2 = 3852
  • Dividindo por 2 novamente: 3852 ÷ 2 = 1926
  • Dividindo por 2 mais uma vez: 1926 ÷ 2 = 963
Agora, 963 não é mais divisível por 2. Passamos para o próximo número primo, que é o 3.
  • Dividindo por 3: 963 ÷ 3 = 321
  • Dividindo por 3 novamente: 321 ÷ 3 = 107
107 é um número primo, então a fatoração termina aqui.
Portanto, a fatoração prima de 7704 é:
7704 = 2^3 times 3^2 times 107^1

Passo 3

Agora que temos a fatoração prima, usamos a fórmula para encontrar o número de divisores. A fórmula é:
Número de divisores = (a1 + 1) times (a2 + 1) times dots times (an + 1) ú
Onde 4 times 3 times 2 = 24 são os expoentes dos fatores primos.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Para o 2: expoente 3 →
  • Para o 3: expoente 2 →
  • Para o 107: expoente 1 →
Multiplicando esses resultados:

Resposta

O número 7704 tem 24 divisores positivos.

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