Usando a decomposição em fatores primos, determine mdc(a, b) e mmc(a, b) onde a=286 e b=1058.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) dos números 286 e 1058 usando a decomposição em fatores primos. Para isso, a gente vai precisar saber como fatorar números em primos e entender como usar esses fatores pra calcular o mdc e o mmc.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 286 em seus fatores primos. Para isso, vamos dividir o número pelos menores primos até chegar na fatoração completa.
Começando com 2:
286 div 2 = 143
Então, 2 é um fator primo, e agora vamos fatorar 143.
143 não é divisível por 2, então tentamos o próximo primo, que é 3:
143 div 3 approx 47,666
Não é inteiro, então 3 não é fator. Próximo, 5:
143 não termina em 0 ou 5, então 5 também não é fator. Próximo, 7:
143 div 7 approx 20,428
Ainda não dá inteiro. Vamos para 11:
143 div 11 = 13
Então, 11 é um fator primo, e sobra 13, que também é primo.
Portanto, a fatoração de 286 é:
286 = 2 times 11 times 13

Passo 3

Agora, vamos fatorar o número 1058 da mesma forma. Começamos dividindo por 2:
1058 div 2 = 529
Então, 2 é um fator primo, e agora vamos fatorar 529.
529 não é divisível por 2, então tentamos 3:
529 div 3 approx 176,333
Não é inteiro. Próximo, 5:
529 não termina em 0 ou 5, então 5 não é fator. Tentamos 7:
529 div 7 approx 75,571
Ainda não dá. Vamos para 11:
529 div 11 approx 48,090
Não é. Próximo, 13:
529 div 13 approx 40,692
Não funciona. Tentamos 23:
529 div 23 = 23
Pois bem, 23 é fator, e sobra 23, que também é primo.
Então, a fatoração de 1058 é:
1058 = 2 times 23 times 23
ou seja,
1058 = 2 times 23^2

Passo 4

Agora que temos as fatorações primas dos dois números, podemos usar essas informações para encontrar o mdc e o mmc.
Para o mdc, a gente pega os fatores primos comuns com os menores expoentes.
Olha só:
  • Fatores de 286: mdc(286, 1058) = 2
  • Fatores de 1058: mmc(286, 1058) = 2 times 11 times 13 times 23^2
O único fator comum é o 2, então:
2 times 11 = 22
Para o mmc, a gente pega todos os fatores primos, colocando o maior expoente de cada.
  • Fatores primos envolvidos: 2, 11, 13, 23
  • Maior expoente de cada:
    • 2: 22 times 13 = 286
    • 11: 286 times 23 = 6578
    • 13: 6578 times 23 = 151,494
    • 23:
Então, o mmc é:
Calculando isso:

Resposta

O máximo divisor comum é e o mínimo múltiplo comum é .

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