Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra gente encontrar o máximo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) dos números 286 e 1058 usando a decomposição em fatores primos. Para isso, a gente vai precisar saber como fatorar números em primos e entender como usar esses fatores pra calcular o mdc e o mmc.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 286 em seus fatores primos. Para isso, vamos dividir o número pelos menores primos até chegar na fatoração completa.
Começando com 2:
Então, 2 é um fator primo, e agora vamos fatorar 143.
143 não é divisível por 2, então tentamos o próximo primo, que é 3:
Não é inteiro, então 3 não é fator. Próximo, 5:
143 não termina em 0 ou 5, então 5 também não é fator. Próximo, 7:
Ainda não dá inteiro. Vamos para 11:
Então, 11 é um fator primo, e sobra 13, que também é primo.
Portanto, a fatoração de 286 é:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o número 1058 da mesma forma. Começamos dividindo por 2:
Então, 2 é um fator primo, e agora vamos fatorar 529.
529 não é divisível por 2, então tentamos 3:
Não é inteiro. Próximo, 5:
529 não termina em 0 ou 5, então 5 não é fator. Tentamos 7:
Ainda não dá. Vamos para 11:
Não é. Próximo, 13:
Não funciona. Tentamos 23:
Pois bem, 23 é fator, e sobra 23, que também é primo.
Então, a fatoração de 1058 é:
ou seja,

Passo 4

Agora que temos as fatorações primas dos dois números, podemos usar essas informações para encontrar o mdc e o mmc.
Para o mdc, a gente pega os fatores primos comuns com os menores expoentes.
Olha só:
  • Fatores de 286:
  • Fatores de 1058:
O único fator comum é o 2, então:
Para o mmc, a gente pega todos os fatores primos, colocando o maior expoente de cada.
  • Fatores primos envolvidos: 2, 11, 13, 23
  • Maior expoente de cada:
    • 2:
    • 11:
    • 13:
    • 23:
Então, o mmc é:
Calculando isso:

Resposta

O máximo divisor comum é e o mínimo múltiplo comum é .

Exercícios relacionados

Determine a soma dos divisores positivos do inteiro 280.
Determine o número de divisores positivos do inteiro 7704.
Usando a decomposição em fatores primos, determine e onde e .
Verifique qual das congruências abaixo tem solução: .