Determine a soma dos divisores positivos do inteiro 280.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a soma de todos os divisores positivos do número 280. Vamos usar conceitos de fatoração prima e a fórmula da soma dos divisores para chegar na resposta. Precisamos fatorar 280 em seus fatores primos e, depois, aplicar a fórmula que nos ajuda a somar todos os divisores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o número 280 em seus fatores primos. Para isso, dividimos 280 pelos menores números primos possíveis:
  • 280 ÷ 2 = 140
  • 140 ÷ 2 = 70
  • 70 ÷ 2 = 35
  • 35 ÷ 5 = 7
  • 7 é primo.
Então, a fatoração prima de 280 é:
280 = 2^3 times 5^1 times 7^1

Passo 3

Agora, usamos a fórmula da soma dos divisores. Se um número n = p1^a times p2^b times p3^c times dots tem a fatoração prima:
sigma(n) = (1 + p1 + p1^2 + dots + p1^a) times (1 + p2 + p2^2 + dots + p2^b) times (1 + p3 + p3^2 + dots + p3^c) times dots
então a soma dos seus divisores é:

Passo 4

Aplicando essa fórmula para o nosso número 280:
sigma(280) = (1 + 2 + 2^2 + 2^3) times (1 + 5) times (1 + 7)
Vamos calcular cada parte separadamente:
  • Para 1 + 2 + 4 + 8 = 15 :
1 + 5 = 6
  • Para 1 + 7 = 8 :
  • Para :

Passo 5

Agora, multiplicamos os resultados obtidos:
15 times 6 = 90
90 times 8 = 720

Resposta

A soma dos divisores positivos do número 280 é 720.

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