Determine o número mínimo de divisões que devemos fazer no intervalo [1,3] para obter um erro <= 10^-7 ao calcular a integral
integral1^3 1x d x
usando:
a) A regra do trapézio composta; [Resposta: N=3652 ]
b) A regra de Simpson composta; [Resposta: N=82 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente descobrir quantas vezes precisamos dividir o intervalo para calcular a integral com um erro menor ou igual a . A gente vai usar duas técnicas diferentes: a regra do trapézio composta e a regra de Simpson composta. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e como estimar o erro delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela basicamente calcula a área sob a curva da função entre e .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a Regra do Trapézio Composta. Essa regra aproxima a área sob a curva pela soma de várias áreas de trapézios. Quanto mais trapézios a gente usar (ou seja, quanto mais divisões do intervalo), mais precisa será a aproximação.
A fórmula do erro para a Regra do Trapézio Composta é:
ET = -(b - a)^312N^2 f''(xi)
onde:
  • é o erro,
  • e são os limites de integração,
  • é o número de divisões,
  • é a segunda derivada da função avaliada em algum ponto no intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada da nossa função f'(x) = -1x^2 f''(x) = 2x^3 :
f''(1) = 2
Como é positiva no intervalo , podemos usar o valor máximo dela para estimar o erro.
O máximo de nesse intervalo acontece quando é mínimo, ou seja, em :

Passo 5

Agora, vamos igualar o módulo do erro à nossa tolerância:
|ET| <= 10^-7 (3 - 1)^312N^2 cdot 2 <= 10^-7
Simplificando:
8 cdot 212N^2 <= 10^-7 1612N^2 <= 10^-7 43N^2 <= 10^-7

Passo 6

Resolvendo para 43 cdot 10^-7 <= N^2 43 times 10^7 <= N^2 N^2 >= 43 times 10^7 N >= raiz43 times 10^7 N >= raiz13 times 10^7 N >= 3651.219 ldots :
N = 3652
Como o número de divisões precisa ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

a) O número mínimo de divisões necessário usando a regra do trapézio composta é .
b) O número mínimo de divisões necessário usando a regra de Simpson composta é .

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