Determine o número mínimo de divisões que devemos fazer no intervalo
para obter um erro
ao calcular a integral
usando:
a) A regra do trapézio composta; [Resposta:
]
b) A regra de Simpson composta; [Resposta:
]
a) A regra do trapézio composta; [Resposta:
b) A regra de Simpson composta; [Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente descobrir quantas vezes precisamos dividir o intervalo
para calcular a integral
com um erro menor ou igual a
. A gente vai usar duas técnicas diferentes: a regra do trapézio composta e a regra de Simpson composta. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada uma dessas regras funciona e como estimar o erro delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral definida. Ela basicamente calcula a área sob a curva da função
entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a Regra do Trapézio Composta. Essa regra aproxima a área sob a curva pela soma de várias áreas de trapézios. Quanto mais trapézios a gente usar (ou seja, quanto mais divisões do intervalo), mais precisa será a aproximação.
A fórmula do erro para a Regra do Trapézio Composta é:
onde:
-
é o erro, -
e são os limites de integração, -
é o número de divisões, -
é a segunda derivada da função avaliada em algum ponto no intervalo.
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada da nossa função
:
Como
é positiva no intervalo
, podemos usar o valor máximo dela para estimar o erro.
O máximo de
nesse intervalo acontece quando
é mínimo, ou seja, em
:
Passo 5
Agora, vamos igualar o módulo do erro à nossa tolerância:
Simplificando:
Passo 6
Resolvendo para
:
Como o número de divisões precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
a) O número mínimo de divisões necessário usando a regra do trapézio composta é
.
b) O número mínimo de divisões necessário usando a regra de Simpson composta é
.