Use a regra de Simpson com
para aproximar a integral
considerando 6 casas decimais. Compare o resultado com o valor real para determinar o erro em cada aproximação. [Resposta: 5.869247,
]
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Precisamos usar a Regra de Simpson com
para aproximar a integral
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo numérico, especificamente a Regra de Simpson, que é uma técnica para aproximar integrais definidas. Além disso, precisamos comparar o resultado obtido com o valor real da integral para determinar o erro da aproximação.
Passo 2
A Regra de Simpson é uma fórmula para estimar a integral de uma função usando parábolas que passam por pontos específicos da função. A fórmula geral da Regra de Simpson com
subintervalos (onde
deve ser par) é:
onde
e
.
Passo 3
Vamos identificar os valores para nossa integral:
- Limites de integração:
e - Número de subintervalos:
- Calculando
:
Agora, vamos calcular os pontos
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular os valores da função
para cada
:
Vamos calcular cada um desses valores numericamente.
Passo 5
Calculando os valores numéricos:
Passo 6
Agora, aplicamos a Regra de Simpson usando os valores calculados:
Substituindo os valores:
Passo 7
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 8
Agora, vamos comparar esse valor aproximado com o valor real da integral para determinar o erro. Supondo que o valor real seja conhecido (como fornecido na questão), podemos calcular o erro absoluto:
Resposta
A aproximação da integral usando a Regra de Simpson com
é
e o erro estimado é
.