Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 30 m^3/min, formando uma pilha em forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Qual a taxa de crescimento da altura da pilha no instante em que sua altura for 10 m ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esteira transportadora que está descarregando cascalho a uma taxa de . Esse cascalho está formando uma pilha em forma de cone, e a condição é que o diâmetro da base do cone e a altura sejam sempre iguais. O que queremos saber é a taxa de crescimento da altura dessa pilha no momento em que a altura for . Vamos usar o conceito de taxas relacionadas da Cálculo Diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura.

Passo 3

A questão diz que o diâmetro da base e a altura são iguais. Sabemos que o diâmetro é o dobro do raio, ou seja, . Como , então:

Passo 4

Vamos substituir na fórmula do volume em termos apenas de :

Passo 5

Agora, precisamos relacionar as taxas de variação. Vamos derivar a expressão de em relação ao tempo :

Passo 6

Sabemos que . Vamos igualar isso à expressão que encontramos:

Passo 7

Queremos encontrar quando . Substituindo os valores:

Passo 8

Isolando :

Resposta

A taxa de crescimento da altura da pilha quando ela tem de altura é , aproximadamente .

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