Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de
, formando uma pilha em forma de cone com diâmetro da base e altura sempre iguais. Qual a taxa de crescimento da altura da pilha no instante em que sua altura for 10
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esteira transportadora que está descarregando cascalho a uma taxa de
. Esse cascalho está formando uma pilha em forma de cone, e a condição é que o diâmetro da base do cone e a altura sejam sempre iguais. O que queremos saber é a taxa de crescimento da altura dessa pilha no momento em que a altura for
. Vamos usar o conceito de taxas relacionadas da Cálculo Diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Passo 3
A questão diz que o diâmetro da base e a altura são iguais. Sabemos que o diâmetro
é o dobro do raio, ou seja,
. Como
, então:
Passo 4
Vamos substituir
na fórmula do volume em termos apenas de
:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar as taxas de variação. Vamos derivar a expressão de
em relação ao tempo
:
Passo 6
Sabemos que
. Vamos igualar isso à expressão que encontramos:
Passo 7
Queremos encontrar
quando
. Substituindo os valores:
Passo 8
Isolando
:
Resposta
A taxa de crescimento da altura da pilha quando ela tem
de altura é
, aproximadamente
.